MT【315】勾股数

(高考压轴题)证明以下命题:
(1)对任意正整数$a$都存在正整数$b,c(b<c)$,使得$a^2,b^2,c^2$成等差数列.
(2)存在无穷多个互不相似的三角形$\Delta_n$,其边长$a_n,b_n,c_n$为正整数,且$a_n^2,b_n^2,c_n^2$成等差数列

解答:
(1)$2b^2=a^2+c^2$令$x=\dfrac{c}{a},y=\dfrac{b}{a}$ 得$x^2-2y^2=-1$得该不定方程的解$(7,5)$
故对任意正整数$a$存在正整数$b=7a,c=5a$使得$a^2,b^2,c^2$成等差数列.
(2)$a_n^2+c_n^2=2b_n^2$注意到$\left(\dfrac{a_n+c_n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a_n-c_n}{2}\right)^2=b_n^2$
故由勾股数的通解得$\dfrac{a_n+c_n}{2}=p^2-q^2,\dfrac{a_n-c_n}{2}=2pq,b_n=p^2+q^2$,
考虑到两边之和大于第三边令$p=n,q=1(n\ge5,n\in N)$得$a_n=n^2+2n-1,c_n=n^2-2n-1,b_n=n^2+1$
又此时$2b_n-a_n-c_n=4$,且$a_n,b_n,c_n$随$n$增大而增大,故三角形$\Delta_n$互不相似.

注:$x^2-2y^2=-1$的解的背景涉及佩尔方程.