【UVA11478】Halum （最短路解差分约束）

题目：

Sample Input
2 1
1 2 10
2 1
1 2 -10
3 3
1 2 4
2 3 2
3 1 5
4 5
2 3 4
4 2 5
3 4 2
3 1 0
1 2 -1
Sample Output
Infinite
Infinite
3
1

题意：

　　给定一个有向图，每条边都有一个权值。每次你可以选择一个结点v和一个整数d,把所有以v为终点的边的权值减小d,把所有以v为起点的边的权值增加d,最后让所有边的权值的最小值大于零且尽量大。

分析：

　　因为不同的操作互不影响，因此可以按任意顺序实施这些操作。另外，对于同一个点的多次操作可以合并，因此可以令sum(u)为作用于结点u之上的所有d之和。这样，本题的目标就是确定所有的sum(u),使得操作之后所有边权的最小值尽量大。

　　“最小值最大”又让我们想到使用二分答案的方法。二分答案x之后，问题转化为是否可以让操作完毕后每条边的权值均不小于x。对于边a->b，不难发现操作完毕后它的权值为w(a,b)+sum(a)-sum(b),因此每条边a->b都可以列出一个不等式w(a,b）+sum(a)-sum(b)>=x,移项得sum(b)-sum(a)<=w(a,b)-x。这样，我们实际得到一个差分约束系统。

　　差分约束系统是指一个不等式组，每个不等式形如xj-xi<=bk,这里的bk是一些事先已知的常数。这个不等式类似于最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w(u,v),我们可以用最短路算法求解：对于约束条件xj-xi<=bk,新建一条边i->j，（根据最短路性质可以证明在图无负环的情况下这个不等式是成立的）权值为bk。如果图中有负权环，则差分约束系统无解。

代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 using namespace std;
 #define Maxn 510
 #define Maxm 4010
 #define INF 0xfffffff

 int n,m;
 int first[Maxn],dis[Maxn],cnt[Maxn];
 bool bq[Maxn],inq[Maxn];

 struct node
 {
     int x,y,c,cc,next;
 }t[Maxm];int len;

 int mymax(int x,int y) {return x>y?x:y;}

 void ins(int x,int y,int cc)
 {
     t[++len].x=x;t[len].y=y;t[len].cc=cc;
     t[len].next=first[x];first[x]=len;
 }

 queue<int > q;

 bool spfa(int s)
 {
     memset(inq,,sizeof(inq));
     memset(dis,,sizeof(dis));
     memset(cnt,,sizeof(cnt));
     while(!q.empty()) q.pop();
     dis[s]=;inq[s]=;q.push(s);
     while(!q.empty())
     {
         int x=q.front();q.pop();inq[x]=;
         for(int i=first[x];i;i=t[i].next)
         {
             int y=t[i].y;
             if(dis[y]>dis[x]+t[i].c)
             {
                 dis[y]=dis[x]+t[i].c;
                 if(!inq[y])
                 {
                     q.push(y);
                     inq[y]=;
                     if(++cnt[y]>n+) return ;
                 }
             }
         }
     }
     return ;
 }

 bool check(int x)
 {
     memset(bq,,sizeof(bq));
     for(int i=;i<=len-n;i++) t[i].c=t[i].cc-x;
     if(spfa(n+)) return ;
     /*for(int i=1;i<=n+1;i++) if(!bq[i])
     {
         if(spfa(i)) return 0;
     }*/
     return ;
 }

 void ffind(int l,int r)
 {
     while(l<r)
     {
         int mid=(l+r+)>>;
         if(check(mid)) l=mid;
         else r=mid-;
     }
     printf("%d\n",l);
 }

 int main()
 {
     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
     {
         memset(first,,sizeof(first));
         int mx=-INF;len=;
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             int x,y,cc;
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&cc);
             ins(x,y,cc);
             mx=mymax(cc,mx);
         }
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             ins(n+,i,);t[len].c=;
         }
         if(check(mx+)) {printf("Infinite\n");continue;}
         if(!check()) {printf("No Solution\n");continue;}
         ffind(,mx);
     }
     return ;
 }

[UVA11478]

2016-04-10 15:33:20