【bzoj2820】GCD

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description

​ 神犇GJS虐完数论后给zzHGR出了一个数论题。

​ 给定n,m，求1≤x≤n,1≤y≤m，且gcd(x,y)为质数的(x,y)有多少对。

​ zzHGR必然不会了，于是向你来请教……

​ 多组输入。

input

​ 第一行一个整数T，表述数据组数。

​ 接下来T行，每行两个正整数，表示n,m。

output

​ T行，每行一个整数表示第i组数据的结果

sample input

2
10 10
100 100

sample output

30
2791

HINT

​ \(T=10000 ，n,m≤10^7\)

---

反演的第一题！！啊哈哈哈哈哈哈哈超级高兴！

咳咳

首先写出表达式

相当于求（这里默认\(n<m\) ）

\[\begin{aligned}
ans &= \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} [ gcd(i , j) = prime ]\\
&=\sum\limits_{p=prime}^{}\sum\limits_{i=1}^{n/p}\sum\limits_{j=1}^{n/p} [ gcd(i , j) = 1 ]\\
&=\sum\limits_{p=prime}^{}\sum\limits_{i=1}^{n/p}\sum\limits_{j=1}^{m/p} \sum\limits_{d|i, d|j} \mu(d)&(\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\mu(d) [gcd(i,j) = 1])\\
&=\sum\limits_{p=prime}^{}\sum\limits_{p|k}^{k<=n} \mu(\frac{k}{p}) * \lfloor \frac{n}{k}\rfloor * \lfloor\frac{m}{k}\rfloor&(k = pd)\\
\\
&然后。。观察一下前两个sigma我们先枚举了p然后再枚举了p在范围内的倍数。。\\&那。。。不就是枚举了所有范围内的数吗哈！哈！哈！\\
\\
&=\sum\limits_{k<=n} g(k) * \lfloor \frac{n}{k}\rfloor * \lfloor\frac{m}{k}\rfloor& (g(k)=\sum\limits_{p=prime}^{p|k}\mu(\frac{k}{p}))\\
\end{aligned}
\]

费劲千辛万苦搞到这条看起来十分友善的式子，那么剩下的就是……

**考虑\(g(k)\)怎么求 **

(\(g(k) = \sum\limits_{p=prime}^{p|k}\mu(\frac{k}{p})\)，我们设\(k = p_0 * x\)，其中\(p_0\)为质数)

那么就有两种情况：

1.如果\(p_0|x\)

​ 如果说\(p_0=p\)，那么\(\mu(\frac{k}{p}) = \mu(k)\)

​ 如果说\(p_0\ne p\)，那么\(p_0 * x\)就有质数平方因子了，而除以\(p\)又不能将其消掉，所以\(\mu\)值为0

​ 综上就是\(g(k) = \mu(k)\)

2.如果\(p0\)不是\(x\)的因子

​ 如果说\(p_0 = p\)，和上面一样

​ 如果说\(p_0 \ne p\)，

​ 那么由于\(\mu\)是积性函数，且\(p_0\)与\(\frac{x}{p}\)互质，所以\(\mu(\frac{k}{p}) = \mu(\frac{p_0 * x}{p}) = \mu(p_0) * \mu(\frac{x}{p})\)

​ 然后把\(\mu(p_0)\)提前我们就可以发现后面的式子其实就是\(g(x)\)，而\(\mu(p_0) = -1\)

​ 所以此时\(\mu(\frac{k}{p}) = -g(x)\)

​ 综上就是\(g(k) = \mu(k) - g(x)\)，其中\(x * p_0 = k\)且\(p_0\)为质数

然后我们就可以十分愉快地将\(g(k)\)筛出来啦

然而是多组数据

接下来再来枚举……稳稳的T啊……

咋办嘞。。显然要让求\(f(x)\)变快啊，然后就发现因为后面两个东西是下取整

下取整。。那就说明有很多数其实弄到最后是一样的

和n/i下取整一样的数最大是n/(n/i)，下一个区间的开始刚好就是最大的那个数+1

然后就考虑到可以用前缀和来搞一下，瞬间舒服ovo

然后就十分愉快地做完啦ovo

---

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=1e7+10;
int miu[MAXN],p[MAXN],g[MAXN],sum[MAXN];
bool vis[MAXN];
ll ans;
int n,m,T,cnt,pos;
int prework(int n);

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%d",&T);
	prework(10000000);
	for (int o=1;o<=T;++o){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if (n>m) swap(n,m);
		ans=0;
		for (int i=1;i<=n;i=pos+1){
			pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=(ll)(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

int prework(int n){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	miu[1]=1;
	cnt=0;
	for (int i=2;i<=n;++i){
		if (!vis[i]){
			p[++cnt]=i;
			miu[i]=-1; g[i]=1;
		}
		for (int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
			vis[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]){
				miu[i*p[j]]=-miu[i];
				g[i*p[j]]=miu[i]-g[i];
			}
			else{
				miu[i*p[j]]=0,g[i*p[j]]=miu[i];
				break;
			}
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		sum[i]=sum[i-1]+g[i];
}