poj3358 Period of an Infinite Binary Expansion

Period of an Infinite Binary Expansion

　　　　题目大意：给你一个分数，求这个分数二进制表示下从第几位开始循环，并求出最小循环节长度。

　　　　注释：int范围内。

　　　　　　想法：这题说实话，是一道神题！我们思考一下，如何将一个小数换成二进制？连续的乘2，然后取首位。这样的比较简洁的转换方式注定了这题其实是可做的。我们可以抓住循环节的在这样的方法下是怎样形成的？显然，存在一个x，使得每多乘$2^x$都会使得所形成的答案相同。第二点，我们知道，一个分数的循环节开始之前是不参与循环的。这样，我们思考，多次反复的乘以2，它的整数部分modb是相同的对吧！？！我们在此就有一个式子，就是说

　　　　$2^i\cdot a\equiv 2^j\cdot a(mod\ b)$。其中j>i

　　　　可以变形为$2^j\cdot a-2^i\cdot a\equiv 0(mod\ b)$

　　　　$\Rightarrow 2^i\cdot a\cdot(2^{j-i}-1)$首先，我们在此之前不妨现将a,b弄成互质。现在，gcd(a,b)=1，所以，我们有

　　　　$2^i\cdot (2^{j-i}-1)\equiv 0(mod\ b)$

　　　　显然，我们想求最小值，我们发现，如果i的值增加，循环节的长度是不会改变的，所以，我们必须求出最小的且满足题意的i，而这个i，就是b中2的个数。剩下的，就是另一道题了。参考博主博客The Luckiest Number（The Luckiest Number?猛戳）。

　　　　最后，附上丑陋的代码......

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 typedef long long ll;
 using namespace std;
 ll gcd(ll a,ll b)
 {
     return b?gcd(b,a%b):a;
 }
 ll quick_multiply(ll a,ll b,ll mod)
 {
     ll ans=;
     a%=mod;
     b%=mod;
     while(b)
     {
         ) ans=(ans+a)%mod;
         b>>=;
         a=(a+a)%mod;
     }
     return ans;
 }
 ll quick_power(ll a,ll b,ll mod)
 {
     ll ans=;
     a%=mod;
     while(b)
     {
         ) ans=quick_multiply(ans,a,mod);
         b>>=;
         a=quick_multiply(a,a,mod);
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     ll a,b;
     ll cnt=;
     while(~scanf("%I64d/%I64d",&a,&b))
     {
         ll k=a,r=b;
         a/=gcd(k,r);
         b/=gcd(k,r);
         ll sum=;
         ==) b/=,sum++;
         printf();
         ll phi=b;
         ll m=b;
         ;i*i<=m;++i)
         {
             )
             {
                 phi=phi/i*(i-);
                 )
                 {
                     m/=i;
                 }
             }
         }
         ) phi=phi/m*(m-);
         ll minn=phi;
         ;i*i<=phi;++i)
         {
             )
             {
                 ,i,b)==) minn=min(minn,i);
                 ,phi/i,b)==) minn=min(minn,phi/i);
             }
         }
         printf("%I64d\n",minn);
     }
 }

　　　　小结，我们发现，这题对于a的取值并没有什么要求，证明是显然的。