因数(factor)
一个最基本的算数法则就是大于1的整数都能用1个或多个素数相乘的形式表示出来。当然,有多种质因子排列方案
如:
10=2×5=5×2 20=5×2×2=2×5×2=2×2×5
用f(k)表示k的质因数排列数,f(10)=2,f(20)=3
给一个n,至少有一个k满足f(k)=n的最小k
输出格式:n和k
输入:
1
2
3
105
输出:
1 2
2 6
3 12
105 720
数据范围
n,k<2^63
我们令k=∏piei
S=∑ei
f(k)=S!/(∏ei!)
解释一下:S是所有因数的个数,ei是每一种因数的个数
显然不考虑重复的情况时方案为S!
那么算上重复的会怎样?
1112是已定的
如果是算总方案显然4!,那么111会导致的重复方案是3!2导致的重复方案为1!
所以有了以上结论
那么我们有了一种方法:枚举k得到n
显然不行
那么是否可以试一下已知n,得到k?
已知对于一个指数e,如果在可行条件下,那么它显然优先给最小的质因数,这能导致k最小
搜索+剪枝实现
剪枝1:上面说的优先给小的素数,就是说ei要单调递增,因为如果ei>ej,i>j,那么显然把ei与ej
交换才能最优
剪枝2:假设你每举了t素数的指数e
就要把n除以 ((S-e+1)*...*S) /e!
如何高效算出?
原式=>S!/(e!*(S-e)!)
这不就是C(S,S-e)吗?
预处理出C,然后每一层枚举一个素数的指数,然后向下
剪枝3:最优性剪枝,当前k>ans 则退出
预处理幂不说了
但记住无论是幂,还是k,都不能超过(1<<63)-1
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int pr[]={,,,,,,,,,,,,,,};
long long pw[][],C[][],ans;
long long inf;
long long min(long long a,long long b)
{
if (a<b) return a;
else return b;
}
void dfs(int t,long long now,long long pre,long long s,int down)
{
if (s>ans) return;
if (now==)
{
ans=min(ans,s);
return;
}
if (t>) return;
for (int i=pre+;i<=min(pre+down,);i++)
if (now%C[i][i-pre]==&&pw[t][i-pre]&&s<=inf/pw[t][i-pre])
dfs(t+,now/C[i][i-pre],i,s*pw[t][i-pre],i-pre);
}
void ask_ans(long long k)
{
ans=inf;
dfs(,k,,,);
ans=max(ans,);
}
int main()
{int i,j,k;
freopen("factor.in","r",stdin);
freopen("factor.out","w",stdout);
C[][]=;
for (i=;i<;i++)
{
C[i][]=C[i][i]=;
for (j=;j<i;j++)
C[i][j]=C[i-][j-]+C[i-][j];
}
for (i=;i<=;i++)
{
pw[i][]=;
for (j=;j<=;j++)
{
if (i&&pw[i][j-]>inf/pr[i]) break;
pw[i][j]=pw[i][j-]*pr[i];
}
if (i==)
inf=pw[][]-;
}
while (cin>>k)
{
ask_ans(k);
cout<<k<<' '<<ans<<endl;
}
}
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