Regression 回归——多项式回归

　　回归是指拟合函数的模型、图像等。与分类不同，回归一般是在函数可微的情况下进行的。因为分类它就那么几类，如果把类别看做函数值的话，分类的函数值是离散的，而回归的函数值通常是连续且可微的。所以回归可以通过梯度下降法来进行。

　　比如对于函数$y =b + wx$，$x$是输入变量，$w$和$b$是参数。可以使用训练集输入一组$x$和$y$来进行对$w$和$b$的训练。

　　下面举多项式回归为例，也就是选择多项式为模型的假设空间，训练多项式的系数。

多项式回归

　　由泰勒公式我们可以知道，多项式可以拟合任何函数。不论是一维的还是多维的，所以如果使用多项式来进行回归，我们可以提升它的次数来更精细地拟合。多维泰勒公式（因变量$X$是m维向量，在$X = P$处展开）：

$f(X) = f(P) + \sum\limits_{i=1}^m (X_i - P_i)f'_{i}(X) + \frac{1}{2!} \sum\limits_{i,j=1}^{m} (X_i - P_i)(X_j - P_j)f''_{ij}(X) + O(X^2)$

　　将各次都提取到一块儿，得到如下：

$f(X) = b + \sum\limits^{m} w_i^{(1)}X_i + \sum\limits^{m} w_{i,j}^{(2)}X_iX_j + \sum\limits^{m} w_{i,j,k}^{(3)}X_iX_jX_k + ...$

　　因此对于$y = b + w_1x + w_2x^2 + w_3x^3 +...$其中的$x$是多维向量，$x^2$就是$x$所有元素相乘后的矩阵，就是二次，相应的$x^3$是$x^2$系数矩阵中所有元素与$x$所有元素相乘后的立方阵，就是三次，然后一直推广到$x^n$（n次）。其中的$w_n$则是$x^n$对应规模的阵子，$w_nx^n$就是它们对应元素相乘后之和。

　　如果再加上正则项（用于防止参数w过大），则对于使用多项式的回归来说，需要人工设置的超参数就是：

　　1、函数的次数（函数的次数和函数的输入变量的维数，决定了整个函数需要优化的参数的数量）。

　　2、正则项的参数$\lambda$等。

　　如果需要回归的函数的多项展开式是无穷级的，如三角函数，那么如果只使用多项式来回归的话是永远也不可能完全拟合的。所以一般还会加上别的函数来拟合。比如在深度学习中，由于有各个神经元之间的连接有阈值，就能理论上拟合任意的函数。

　　另外，上面的高次幂可以通过增加维度来降幂计算，比如将$w_{i,j}^{(2)}X_iX_j$转化为新的输入维度$w_{i,j}^{(2)}X_{m + k}$（因为转化之前$X$是m维的，转化后在m维后面再加维度）但是这并不会减少模型优化的复杂度，它只是看起来好像从高次模型转化为了线性模型来进行回归，因为需要优化的参数依然是不变的。