【数组】kSum问题

一、2Sum

思路1：

首先对数组排序。不过由于最后返回两个数字的索引，所以需要事先对数据进行备份。然后采用2个指针l和r，分别从左端和右端向中间运动：当l和r位置的两个数字之和小于目标数字target时，r减1；当l和r位置的两个数字之和大于目标数字target时，l加1。因此只需扫描一遍数组就可以检索出两个数字了。最后再扫描一遍原数组，获取这两个数字的索引。

思路2：

将数组的数组映射到哈希表，key是元素的值，value是该值在数组中的索引。考虑到数组中元素有重复，我们使用STL中的unordered_multimap, 它可以允许重复的key存在。映射以后，对于数组中的某个元素num，我们只要在哈希表中查找num2 = target-num。需要注意的是在哈希表中找到了num2，并不一定代表找到了题目要求的两个数，比如对于数组2 7 11 15，target = 4，当num = 2时，num2 = target-num = 2，此时num2可以在哈希表中找到，但是num和num2指向的是同一个元素。因此当num2 = num时，在哈希表找到num2的同时，还需要保证哈希表中num2的个数>=2。

二、3Sum Closest

思路：

我们可以在 2sum问题的基础上来解决3sum问题，假设3sum问题的目标是target。每次从数组中选出一个数k，从剩下的数中求目标等于target-k的2sum问题。这里需要注意的是有个小的trick：当我们从数组中选出第i数时，我们只需要求数值中从第i+1个到最后一个范围内字数组的2sum问题。

三、3Sum

思路： 

为了避免重复，对于排序后的数组，当我们枚举第一个数时，如果遇到重复的就直接跳过；当我们找到一个符合的二元组（第二个数和第三个数）时，也分别对第二个数和第三个数去重。去重代码如下：

 //为了防止出现重复的二元组，使结果等于target
                 int k = head+;
                 while(k < tail && sortedNum[k] == sortedNum[head])k++;
                 head = k;

                 k = tail-;
                 while(k > head && sortedNum[k] == sortedNum[tail])k--;
                 tail = k;

四、4Sum

思路1：

我们可以仿照3sum的解决方法。这里枚举第一个和第二个数，然后对余下数的求2sum，算法复杂度为O（n^3）,去重方法和上一题类似

思路2：

O（n^2）的算法，和前面相当，都是先对数组排序。我们先枚举出所有二个数的和存放在哈希map中，其中map的key对应的是二个数的和，因为多对元素求和可能是相同的值，故哈希map的value是一个链表（下面的代码中用数组代替），链表每个节点存的是这两个数在数组的下标；这个预处理的时间复杂度是O（n^2）。接着和算法1类似，枚举第一个和第二个元素，假设分别为v1,v2, 然后在哈希map中查找和为target-v1-v2的所有二元对（在对应的链表中），查找的时间为O（1），为了保证不重复计算，我们只保留两个数下标都大于V2的二元对（其实我们在前面3sum问题中所求得的三个数在排序后的数组中下标都是递增的），即时是这样也有可能重复：比如排好序后数组为-9 -4 -2 0 2 4 4，target = 0，当第一个和第二个元素分别是-4，-2时，我们要得到和为0-（-2）-（-4） = 6的二元对，这样的二元对有两个,都是(2,4)，且他们在数组中的下标都大于-4和-2，如果都加入结果，则(-4,-2,2,4)会出现两次，因此在加入二元对时，要判断是否和已经加入的二元对重复（由于过早二元对之前数组已经排过序，所以两个元素都相同的二元对可以保证在链表中是相邻的，链表不会出现(2,4)->(1,5)->(2,4)的情况，因此只要判断新加入的二元对和上一个加入的二元对是否重复即可），因为同一个链表中的二元对两个元素的和都是相同的，因此只要二元对的一个元素不同，则这个二元对就不同。我们可以认为哈希map中key对应的链表长度为常数，那么算法总的复杂度为O（n^2）

五、kSum

问题陈述：

在一个数组，从中找出k个数（每个数不能重复取。数组中同一个值有多个，可以取多个），使得和为零。找出所有这样的组合，要求没有重复项（只要值不同即可，不要求在原数组中的index不同）

解法：

2 sum 用hash table做，可以时间O(n)，空间O（n），
2 sum 如果用sort以后，在前后扫描，可以时间O(nlogn + n) = O(nlogn)，空间O(1)
2 sum 用hash table做的好处是快，但是等于是利用了不用排序的特点。排序的办法，在高维度（也就是k sum问题，k>2）的时候，nlogn就不是主要的时间消耗成分，也就更适合2sum的sort后双指针扫描查找的办法。

那么，对于k sum， k>2的，如果用sort的话， 可以 对 n-2的数做嵌套循环，因为已经sort过了，最后剩下的两维用2 sum的第二个办法， 时间是O(nlogn + n^(k-2) * n) = O(n^(n-1))，空间O(1)。 但是这样跟纯嵌套循环没有什么区别，只是最后一层少了一个因子n。有什么办法能优化？
就是说，对于 k sum (k>2) 问题 （一个size为n的array, 查找k个数的一个tuple，满足总和sum为0）， 有没有时间复杂度在O(n^(k-2))的办法？

之前常规的一层一层剥离，n的次数是递增的。只有在最后一层，还有两个维度的时候，时间开销上减少一个n的因子，但是这样时间开销还是太多

我们可以通过对问题分解来解决
举个例子
...-5，-4，-3，-2，-1, 0，1, 2, 3, 4, 5.... 要找 4 sum = 0
那么先分解
4 分成 2 sum + 2 sum 来解决，但是这里的子问题2 sum没有sum=0的要求，是保留任何中间值。只有当子问题的2 sum解决以后，回归原问题的时候，我们才又回归原始的2 sum问题，这时候sum=0
子问题，空间和时间消耗，都是O(n^2)
回归大问题，时间消耗，是O(n^2)

假设k sum中  k = 2^m, 那么一共有m层，会有m次分解
分解到最底层，时间空间消耗 从 原始O(n)变为新的O(n^2)
分解到次底层，时间空间消耗 从 O(n^2)变为新的O((n^2)^2)
...
到达最顶层，时间空间消耗就都变成了O(n^(2*m)) = O(n^(2logk))

和之前的方法O(n^(k-1))相比，O(n^(2logk))的时间是少了很多，但是空间消耗却很大。
因为子问题无法确定把哪一个中间结果留下，那么就需要把子问题的结果全部返回，到最后，空间消耗就很大了。整体效果算是空间换时间吧。

通过 问题的分解 + hashtable的运用，能明显减少时间消耗， 但是空间消耗变大是个问题。比如说，如果有10^6的int类型数组，我如果用这个hashtable的办法，就要有10^12的pair，这就有10T以上的空间消耗。

问题的分解是个很好的思路，但是中间值得保留迫使空间消耗增大，这和用不用hashtable倒没有很大关系，只是说，如果不用hashtable，时间消耗会更大。