洛谷 P2042 [NOI2005]维护数列-Splay(插入 删除 修改 翻转 求和 最大的子序列)

因为要讲座，随便写一下，等讲完有时间好好写一篇splay的博客。

先直接上题目然后贴代码，具体讲解都写代码里了。

参考的博客等的链接都贴代码里了，有空再好好写。

P2042 [NOI2005]维护数列

题目描述

请写一个程序，要求维护一个数列，支持以下 6 种操作：（请注意，格式栏 中的下划线‘ _ ’表示实际输入文件中的空格）

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第 1 行包含两个数 N 和 M，N 表示初始时数列中数的个数，M 表示要进行的操作数目。 第 2 行包含 N 个数字，描述初始时的数列。 以下 M 行，每行一条命令，格式参见问题描述中的表格

输出格式：

对于输入数据中的 GET-SUM 和 MAX-SUM 操作，向输出文件依次打印结 果，每个答案（数字）占一行。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

9 8
2 -6 3 5 1 -5 -3 6 3
GET-SUM 5 4
MAX-SUM
INSERT 8 3 -5 7 2
DELETE 12 1
MAKE-SAME 3 3 2
REVERSE 3 6
GET-SUM 5 4
MAX-SUM

输出样例#1： 复制

-1
10
1
10

说明

你可以认为在任何时刻，数列中至少有 1 个数。

输入数据一定是正确的，即指定位置的数在数列中一定存在。

50%的数据中，任何时刻数列中最多含有 30 000 个数；

100%的数据中，任何时刻数列中最多含有 500 000 个数。

100%的数据中，任何时刻数列中任何一个数字均在[-1 000, 1 000]内。

100%的数据中，M ≤20 000，插入的数字总数不超过 4 000 000 。

代码:

 /*
 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2042
 https://www.luogu.org/problemnew/solution/P2042
 https://baijiahao.baidu.com/s?id=1613228134219334653&wfr=spider&for=pc
 https://www.cnblogs.com/victorique/p/8478866.html
 https://www.cnblogs.com/noip/archive/2013/05/31/3111169.html
 https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%B8%E5%B1%95%E6%A0%91/7003945?fr=aladdin
 https://blog.csdn.net/changtao381/article/details/8936765
 https://blog.csdn.net/huzujun/article/details/81394092
 */

 //插入 删除 修改 翻转 求和 最大的子序列
 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn=1e6+;
 const int inf=0x3f3f3f3f;

 int n,m,rt,cnt;
 int a[maxn],id[maxn],fa[maxn],tree[maxn][];
 int sum[maxn],sz[maxn],val[maxn],mx[maxn],lx[maxn],rx[maxn];
 int tag[maxn],rev[maxn];
 //tag 是否有统一修改的标记，rev 是否有统一翻转的标记

 queue<int> q;

 void pushup(int x)//分治，类似线段树的区间合并，但是因为当前节点也有值，所以要加上当前节点的val
 {
     int l=tree[x][],r=tree[x][];
     sum[x]=sum[l]+sum[r]+val[x];
     sz[x]=sz[l]+sz[r]+;
     lx[x]=max(lx[l],sum[l]+lx[r]+val[x]);
     rx[x]=max(rx[r],sum[r]+rx[l]+val[x]);
     mx[x]=max(max(mx[l],mx[r]),rx[l]+lx[r]+val[x]);//区间最大子段和
 }

 void pushdown(int x)
 {
     int l=tree[x][],r=tree[x][];
     if(tag[x]){//有统一修改的标记，翻转就没有意义了
         rev[x]=tag[x]=;
         if(l) tag[l]=,val[l]=val[x],sum[l]=sz[l]*val[x];
         if(r) tag[r]=,val[r]=val[x],sum[r]=sz[r]*val[x];
         if(val[x]>=){
             if(l) lx[l]=rx[l]=mx[l]=sum[l];
             if(r) lx[r]=rx[r]=mx[r]=sum[r];
         }
         else{
             if(l) lx[l]=rx[l]=,mx[l]=val[x];
             if(r) lx[r]=rx[r]=,mx[r]=val[x];
         }
     }
     if(rev[x]){
         rev[x]=;rev[l]^=;rev[r]^=;
         swap(lx[l],rx[l]);swap(lx[r],rx[r]);//注意，在翻转操作中，前后缀的最长上升子序列都反过来了，很容易错
         swap(tree[l][],tree[l][]);swap(tree[r][],tree[r][]);
     }
 }

 void rotate(int x,int &k)
 {
     int y=fa[x],z=fa[y],l=(tree[y][]==x),r=l^;
     if(y==k) k=x;
     else tree[z][tree[z][]==y]=x;
     fa[tree[x][r]]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;//改变父子关系。爸爸变儿子，爷爷变爸爸
     tree[y][l]=tree[x][r];tree[x][r]=y;
     pushup(y);pushup(x);//旋转操作，改变关系之后标记上传
 }

 /*
 伸展操作，三种状态：
 1.x的爸爸y是目标状态，直接翻转x
 2.x有爸爸y，有爷爷z，如果三点在一条直线上，就先翻转爸爸y，这样翻转是双旋，保持平衡(关于旋转 双旋、单旋，讲一下)
 3.x有爸爸y，有爷爷z，三点不在一条直线上，直接翻转两次x就可以
 */
 void splay(int x,int &k)//伸展操作，核心操作
 {
     while(x!=k){//一直到转到目标状态
         int y=fa[x],z=fa[y];
         if(y!=k){//如果爸爸不是目标状态
             if((tree[z][]==y)^(tree[y][]==x)) rotate(x,k);//如果三点不在一条直线上，直接转自己
             else rotate(y,k);
         }
         rotate(x,k);
     }
 }

 /*
 查找操作，核心操作之二
 区间翻转和插入以及删除的操作都需要find操作
 因为维护的区间的实际编号是不连续的，所以需要查找要操作的区间对应平衡树的中序遍历的那段区间
 */
 int find(int x,int rk)//找排名第rk的
 {
     pushdown(x);//因为所有操作都是需要find，所以在这里标记下传就可以
     int l=tree[x][],r=tree[x][];
     if(sz[l]+==rk) return x;//就是二叉树的搜索操作
     if(sz[l]  >=rk) return find(l,rk);
     else return find(r,rk-sz[l]-);

 }

 /*
 这道题极限是4*10^6*log(2*10^4),2为底，二分，所以4*10^10，128MB差不多存10^8，爆内存
 用时间换空间的回收冗余编号机制
 */
 void recycle(int x)//垃圾回收，节省内存，因为内存开销太大，容易爆内存，记录用过但是已经删除的节点的编号，新建节点的时候直接从队列或者栈中取出来用就可以。时间换空间
 {
     int &l=tree[x][],&r=tree[x][];
     if(l) recycle(l);
     if(r) recycle(r);//垃圾回收，一直回收到底
     q.push(x);
     fa[x]=tag[x]=rev[x]=l=r=;
 }

 /*
 核心操作之三
 通过split 找到[k+1,k+tot]，然后把k，k+tot+1移到根和右儿子的位置
 然后返回这个右儿子的左儿子，就是要操作的区间
 */
 int split(int k,int tot)
 {
     int x=find(rt,k),y=find(rt,k+tot+);
     splay(x,rt);splay(y,tree[x][]);
     return tree[y][];
 }

 void query(int k,int tot)//区间最大子段和
 {
     int x=split(k,tot);
     printf("%d\n",sum[x]);
 }

 void modify(int k,int tot,int value)//当前数列第k个开始连续tot个统一修改为value
 {
     int x=split(k,tot),y=fa[x];
     val[x]=value;tag[x]=;sum[x]=sz[x]*value;
     if(value>=) lx[x]=rx[x]=mx[x]=sum[x];
     else         lx[x]=rx[x]=,mx[x]=value;//最大的子段和就是一个，因为是负数
     pushup(y);pushup(fa[y]);//每一步的修改操作，父子关系发生变化，记录标记发生变化，所以要及时标记上传
 }

 void rever(int k,int tot)//当前数列第k个开始的tot个数字翻转
 {
     int x=split(k,tot),y=fa[x];
     if(!tag[x]){
         rev[x]^=;
         swap(tree[x][],tree[x][]);
         swap(lx[x],rx[x]);
         pushup(y);pushup(fa[y]);
     }
 }

 void erase(int k,int tot)//当前数列第k个数字开始连续删除tot个数字
 {
     int x=split(k,tot),y=fa[x];
     recycle(x);tree[y][]=;
     pushup(y);pushup(fa[y]);
 }

 void build(int l,int r,int f)
 {
     int m=(l+r)>>,now=id[m],pre=id[f];
     if(l==r){
         mx[now]=sum[now]=a[l];
         tag[now]=rev[now]=;//这里的清零操作是必要的，因为可能是之前垃圾回收，冗余的
         lx[now]=rx[now]=max(a[l],);
         sz[now]=;
     }
     if(l<m) build(l,m-,m);
     if(r>m) build(m+,r,m);
     val[now]=a[m];fa[now]=pre;
     pushup(now);
     tree[pre][m>=f]=now;//插入右或者左区间
 }

 void insert(int k,int tot)//当前数列第k个数字后插入tot个数字
 {
     for(int i=;i<=tot;i++){
         scanf("%d",&a[i]);
     }
     for(int i=;i<=tot;i++){
         if(!q.empty()) id[i]=q.front(),q.pop();
         else id[i]=++cnt;//利用队列里的冗余节点编号
     }
     build(,tot,);//将读入的tot个数建成一个平衡树
     int z=id[(+tot)>>];//取中点为根
     int x=find(rt,k+),y=find(rt,k+);//首先，根据中序遍历，找到要操作的区间的实际编号
     splay(x,rt);splay(y,tree[x][]);//把k+1(注意我们已经右移了一个单位）和(k+1)+1移到根和右儿子
     fa[z]=y;tree[y][]=z;//直接把需要插入的这个平衡树挂到右儿子的左儿子上去就好了
     pushup(y);pushup(x);
 }

 //对于具体在哪里上传标记和下传标记
 //可以这么记，只要用了split就要重新上传标记
 //只有find中需要下传标记
 //但其实，你多传几次是没有关系的，但是少传了就不行了
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     mx[]=a[]=a[n+]=-inf;//两个虚拟节点，哨兵节点
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d",&a[i+]);
     }
     for(int i=;i<=n+;i++){//虚拟了两个节点1和n+2，然后把需要操作区间整体右移一个单位
         id[i]=i;
     }
     build(,n+,);
     rt=(n+)>>;cnt=n+;//取最中间的为根，这样就是一个完美的平衡树
     int k,tot,value;char op[];
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%s",op);
         if(op[]!='M'||op[]!='X') scanf("%d%d",&k,&tot);
         if(op[]=='I') insert(k,tot);
         if(op[]=='D') erase(k,tot);
         if(op[]=='M'){
             if(op[]=='X') printf("%d\n",mx[rt]);
             else scanf("%d",&value),modify(k,tot,value);
         }
         if(op[]=='R') rever(k,tot);
         if(op[]=='G') query(k,tot);
     }
     return ;
 }