DFS(深度优先搜索) 总是需要重置 visited 的状态吗？

问题来自 P1902 刺杀大使，在最初的实现中 DFS 中一段代码如下：

visited[x2][y2] = true;
flag = dfs(v, x2, y2);
visited[x2][y2] = false;
if (flag) { break; }

从格点([x2][y2]) 出发进行搜索，搜索开始前，会设置 visited[x2][y2] = true；搜索结束后，会重新设置 visited[x2][y2] = false。在没有解的情况下，算法会搜索二维数组中所有可能的路径（四个方向），这个路径被称为自回避行走(SAW, Self-Avoiding Walks)。目前还没对任意尺寸二维数组的 SAW 路径的通项公式，但是可以知道 SAW 路径个数和二维数组的尺寸是非线性关系。所以在没有解的情况下，使用上面的算法会导致 TLE（搜索的路径数远远多于数组的元素个数）。

为了解决超时问题，我们可以在搜索结束后，不再重置 visited[x2][y2]，也就是说在整个搜索过程中，对于任意的一个格点(lattice)，我们至多访问一次。此时，算法的最坏复杂度为 O(n*m)。

证明

关于该算法正确性的一个简短证明：

命题：对于搜索失败的格点（即，从该格点出发），无需再次访问，即使再次访问搜索结果也不会发生变化。

我们使用反证法来证明。对于搜索失败的格点 A，可能会存在一条成功的路径。那么之前对格点 A 的搜索会失败，是因为这条成功路径上的某个格点 B 已经被访问过，导致这条路径不通。

如果这条成功路径上的这个格点 B 之前已经被访问过，但是算法没有中止，就代表从格点 B 出发的路径也存在某个格点 C 已经被访问过。重复这个步骤，我们可以得到，终点 D 也应该之前被访问过，这当然是矛盾的。

从而我们可知，若从某一格点出发搜索失败，则表示并不存在从该格点出发的成功路径，不然程序早就在访问这个格点之前就已经中止了。

奇怪的代码

在查看题目题解的时候，我看到这样的一段代码，

vis[x][y] = 1;
dfs(x, y);
vis[x][y] = 0;

照例说这个重置 vis 状态的解法，会导致超时问题。但是我提交后发现，这个解法并未超时。这让我思考了很久，明明是和我相同的写法，为什么上面的代码不会超时呢？直到我看到代码作者把变量 x 和 y 定义在了函数外，我才明白了原因——搜索开始前的 x, y 和搜索结束后的 x, y 的值并不相同，在递归的过程中，x，y 作为全局变量并没有暂存下来，所以最后重置的 vis[x][y] 和搜索前的不是同一个。这也就是我们看到这个代码歪打正着地 AC 的原因了。

参考资料

• 自回避行走(Self-Avoiding Walks)问题（简介）
• Number of nonintersecting (or self-avoiding) rook paths joining opposite corners of an n X n grid.
• （组合学）从九宫格的左下角到右上角有多少不同的路径？
• Self-Avoiding Walk
• How Many Paths from A to B?
• Number of paths from A to B with no direction constraints