BZOJ 最大公约数 (通俗易懂&效率高&欧拉函数)

题目

题目描述

给定整数$N$，求$1 \le x,y \le N$且$gcd(x,y)\(为素数的数对\)(x,y)$有多少对。

$gcd(x,y)$即求$x，y$的最大公约数。

输入格式

输入一个整数N

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的数对数量。

数据范围

\[
1 \le N \le 10^7
\]

输入样例：

4

输出样例：

4

解题报告

关于本题

这道题目,在蒟蒻我花费了30min一顿瞎搞AC后,然后想要看网络上的题解,都是一些什么莫比乌斯反演,吓了一跳.

原题:最大公约数

大佬团:这道题目当然要莫比乌斯反演性质推导啊,这样时间效率特别高.

蒟蒻我:我只用了一个欧拉函数+前缀和瞎搞.

然后蒟蒻我想要感受一下,传说中的省选高端数学算法,莫比乌斯反演的效率.

于是我测试了一下代码.

莫比乌斯反演算法,花费4000+ms.

欧拉函数算法,花费933ms.

蒟蒻我,一脸懵逼.

后来我又搜索了这道题目的另外一个100%相似版本,终于看到了类似的算法,但是为什么处理方式那么诡异啊,网上都是$ans \times 2-1$,我是$ans \times 2+1$

可能我的打开方式不对吧............

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题意理解

就是要找统计一类特殊数对.

要求两个数,他们的最大公约数为素数.

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算法解析

这道题目思路比较清晰,除了算法基础课上的欧拉函数,完全没有高级数学知识,只有最大公约数,乘法这些数学知识,而且公式都非常简短,可以放心食用.违背了数学题目的常识

我们先来下定义.

\[
a=x \times d \quad x为任意正整数\\\\
b=y \times d \quad y为任意正整数\\\\
d为素数 \\\\
\]

那么什么时候才会出现

\[
gcd(a,b)=d
\]

也就是题目要求统计的数对呢?

我们思索一下,什么是最大公约数,不就是两个数的最大公因子吗?

那么我们把定义放入进去.

\[
a=x \times d \\\\
b=y \times d \\\
gcd(a,b)=gcd(x \times d,y \times d)=d \\\\
gcd(a,b)=d \times gcd(x,y)
\]

此时我们应该很好看出来了,一个$a,b$为合法数对的条件了.

\[
gcd(x,y)=1 \quad x,y必须互素
\]

否则的话,我们观察发现

\[
gcd(a,b)=d \times gcd(x,y) \\\\
如果不满足gcd(x,y)=1的话 \\\\
d \times gcd(x,y) \not= d \\\\
\]

一个素数乘以一个大于1的数字,请问还有可能是素数吗?

显然是不可能的.

所以我们就证明了这个性质.

既然如此的话,我们发现了性质,那么就要推导公式了.

对于一个素数$d$而言.他在$1$~$n$中显然有这些数.

\[
d,d \times 2,d \times 3,...,d \times k. \\\\
d \times k \le n
\]

我们发现$gcd(a,b)=d$的数对,只能从上面这个式子中选择.

因为最大公约数是$d$,所以必须有共同因子\(d\).

那么我们再来简化数列,也就是上面式子,都抛去d.

\[
a/=d \\\\
b/=d.
\]

那么$a,b$就会从下面这个数列中选择

\[
1,2,3,...k
\]

我们再来分析.

因为合法数对$a,b$都除以$d$这个最大公约数,所以此时.

\[
gcd(a,b)=d \\\
==> gcd(a/d,b/d)=1
\]

总而言之,言而总之,我们要

在下面这个数列中,找到两个互质的数,那么一定是合法数对.

\[
1,2,3,...k
\]

比如说我们选择

\[
2,3
\]

那么实际上对应的数字就是

\[
2\times d,3\times d
\]

因此当前的任务就是找到互质的两个数.

此时我们就需要用到这道题目唯一的难点数学知识.

欧拉函数:是小于n的正整数中与n互质的数的数目

那么我们对于一个数列而言,它的欧拉函数总和,就是两个互质数对个数.

\[
ans=\phi{1} + \phi{2} + \phi{3} +...+\phi{k}
\]

不过本题目是无序数对,因此.

\[
ans \times 2
\]

因此使用线性筛法,就可以$O(n)\(求出每一个\)\phi$

不过为了加速处理,我们还可以使用前缀和数组.

\[
sum[i]表示 \phi{1}+\phi{2}+\phi{3}+..+\phi{k}的总和
\]

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代码解析

//代码是单数据版本的
#include <bits/stdc++.h>
const int N=1e7+10;
using namespace std;
int zs[N],cnt,phi[N],n;
long long sum[N],ans;
bool st[N];
void get_phi(int n)
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2; i<=n; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            zs[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=0; zs[j]<=n/i; j++)
        {
            int t=zs[j]*i;
            st[t]=true;
            if (i%zs[j]==0)
            {
                phi[t]=phi[i]*zs[j];
                break;
            }
            phi[t]=phi[i]*(zs[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    get_phi(n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        int now=n/zs[i];
        ans+=sum[now]*2+1;//因为phi[1]=1,我们的前缀和没有处理.
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}