YbtOJ#912-神秘语言【结论,欧拉定理】

正题

题目链接:http://www.ybtoj.com.cn/problem/912

---

题目大意

给出\(L,R\)，求有多少长度在\([L,R]\)之间的字符串满足依次取出所有偶数位置的放在最前面后，与原字符串相同。字符集是所有小写字母。

\(1\leq Q\leq 5,1\leq L\leq R\leq 10^{10},R-L\leq 5\times 10^4\)

---

解题思路

这个东西可以理解为给出一些相等关系的边，然后求联通块的数量\(G\)，然后方案就是\(26^G\)。

设\(G(x)\)表示\(x\)的联通块数量。首先奇偶数不一样很麻烦，发现如果对于奇数\(x\)有\(G(x)=G(x-1)+1\)（最后一个自己连自己）。所以我们只需要考虑偶数的。

\(n\)为偶数时给出的条件其实就是\(S_i=S_{2i\%(n+1)}\)，然后此时考虑点\(x\)，有\(d=gcd(x,n+1)\)，那么有\(x=dk\)。我们让\(x\)向\(2x\%(n+1)\)连边，考虑求出\(x\)所在环的环长，也就是求一个最小的\(r\)满足\(x\times2^r\equiv x(mod\ \ n+1)\)，就是满足\(2^r\equiv1(mod\ \ \frac{n+1}{gcd(x,n+1)})\)，后文记做\(ord(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})\)。然后满足\(gcd(x,n+1)=d\)的都在一些大小为\(r\)的环中相互连接，这样的\(x\)有\(\varphi(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})\)个。所以这样的环有\(\frac{\varphi(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})}{ord(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)})}\)，然后改成枚举\(\frac{n+1}{gcd(x,n+1)}\)就有一个比较舒服的式子

\[G(n)=\sum_{d|n,d>1}\frac{\varphi(d)}{ord(d)}
\]

上面那个\(\varphi\)很好求，考虑怎么求下面那个\(ord\)。

和原根类似的使用试除法，首先根据欧拉定理肯定有\(ord(n)|\varphi(n)\)。然后考虑对于\(\varphi(n)\)的每个约数\(x\)如果满足\(2^{\frac wx}\equiv 1(mod\ \ n)\)就代表可以除去这个\(x\)。

但是这样每次来搞还是很慢，这里还有一个挺显然的结论

\[gcd(x,y)=1\Rightarrow ord(x\times y)=lcm(\ ord(x),ord(y)\ )
\]

证明的话首先定理\(a=lcm(x,y)\)，再设一个\(2^b\equiv 1(mod\ xy)\)，那么有\(2^{b-a}\equiv1(mod\ xy)\)，然后这样更相减损下去最后就有\(2^{gcd(a,b)}\equiv 1(mod\ xy)\)，所以如果\(b<a\)那么有，然后因为\(a=lcm(x,y)\)也就是这个就是新的最小的\(gcd\)。

所以我们就只需要求出所有需要的\(ord(p^k)\)就好了。

然后我们可以先枚举\(\sqrt R\)以内的质数然后来给所有\([L,R]\)中的数质因数分解，然后对于里面的每个\(x\)用搜索来求所有的约数。

---

code

#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<cctype>
#define ll __int128
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e9+7;
ll q,L,R,ans,tot,cnt,G;
ll pri[N],phi[N],mk[N][35],p[35],c[35];
bool v[N];vector<ll >cp[N];
map<ll,map<ll,ll> >mp;
ll read() {
	ll x=0,f=1; char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
	return x*f;
}
void print(ll x){
	if (x>9) print(x/10); putchar(x%10+48); return;
}
ll power(ll x,ll b,ll P){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll ord(ll p,ll k){
	if(p<N&&mk[p][k])return mk[p][k];
	if(p>pri[cnt]&&mp[p][k])return mp[p][k];
	ll m=power(p,k,1e18),x,w=p-1;x=m/p*(p-1);
	while(x%p==0){
		ll z=power(2,x/p,m);
		if(z!=1)break;x/=p;
	}
	if(w>=L&&w<=R+2){
		ll wz=w-L;
		for(ll wc=0;wc<cp[wz].size();wc++){
			ll i=cp[wz][wc];
			while(x%pri[i]==0){
				ll z=power(2,x/pri[i],m);
				if(z!=1)break;x/=pri[i];
			}
			while(w%pri[i]==0)w/=pri[i];
		}
	}
	else{
		for(ll i=1;pri[i]*pri[i]<=w&&i<=cnt;i++){
			if(w%pri[i])continue;
			while(x%pri[i]==0){
				ll z=power(2,x/pri[i],m);
				if(z!=1)break;x/=pri[i];
			}
			while(w%pri[i]==0)w/=pri[i];
		}
	}
	if(w>1){
		if(x%w==0){
			ll z=power(2,x/w,m);
			if(z==1)x/=w;
		}
	}
	if(p<N)mk[p][k]=x;
	else mp[p][k]=x;
	return x;
}
void prime(){
	phi[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])pri[++cnt]=i;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
	return;
}
ll lcm(ll x,ll y){
	ll d=__gcd(x,y);
	return x*y/d;
}
void dfs(ll x,ll ph,ll od){
	if(x>tot){G+=ph/od;return;}
	dfs(x+1,ph,od);
	for(ll i=1,w=p[x];i<=c[x];i++)
		dfs(x+1,ph*(w/p[x]*(p[x]-1)),lcm(od,ord(p[x],i))),w=w*p[x];
	return;
}
ll work(ll n){
	tot=0;ll wz=n-L;
	for(ll w=0;w<cp[wz].size();w++){
		ll i=cp[wz][w];
		p[++tot]=pri[i];c[tot]=0;
		while(n%pri[i]==0)
			c[tot]++,n/=pri[i];
	}
	if(n>1)p[++tot]=n,c[tot]=1;
	G=-1;dfs(1,1,1);
	return G;
}
signed main()
{
//	freopen("language.in","r",stdin);
//	freopen("language.out","w",stdout);
//	scanf("%lld",&q);
	q=read();prime();
	while(q--){
//		scanf("%lld%lld",&L,&R);
		L=read();R=read();ans=0;
		for(ll i=0;i<=R-L+2;i++)cp[i].clear();
		for(ll i=1;i<=cnt;i++){
			ll x=pri[i],l=L/x,r=(R+2)/x;
			for(ll j=l;j<=r;j++){
				if(j*x<L||j*x>R+2)continue;
				cp[j*x-L].push_back(i);
			}
		}
		for(ll i=L/2;i<=R/2;i++){
			ll tmp=work(i*2ll+1);
			if(i*2ll>=L)ans=(ans+power(26,tmp,P))%P;
			if(i*2ll+1<=R)ans=(ans+power(26,tmp+1,P))%P;
		}
		print(ans);putchar('\n');
//		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}