洛谷2151[SDOI2009]HH去散步（dp+矩阵乘法优化）

一道良好的矩阵乘法优化\(dp\)的题。

首先，一个比较\(naive\)的想法。

我们定义\(dp[i][j]\)表示已经走了\(i\)步，当前在点\(j\)的方案数。

由于题目中限制了不能立即走之前走过来的那个点，所以这个状态并不能优秀的转移。

尝试重新定义\(dp\)状态。

令\(dp[i][j]\)表示已经走了\(i\)步，当前在\(j\)这条边的终点的那个点。

假设\(to[j]=p\)

那么\(dp[i][j]\)可以转移到\(dp[i+1][out[p]] 其中\ (out[p]不为j的反向边)\)

其中\(out[p]\)表示p的出边（我们把题目中的每条无向拆成两个有向边）

最后求\(ans\)的时候，只需要枚举哪些边的终点是目标点，然后加起来即可

通过具体的边的限制，我们就能满足题目中的那个要求。

qwq但是我们发现，如果暴力转移的话，时间复杂度是不能够接受的。

考虑到每次只从\(i\)转移到\(i+1\)。

所以可以构造一个转移矩阵。

对于一个状态\(dp[x][i]\)，然后在如果他能对编号为\(j\)的边产生贡献，那么我们把构造矩阵\(a[i][j]\)++

for (int i=1;i<=cnt;i++)
  {
  	int to = y[i];
  	for (int j=0;j<out[to].size();j++)
  	{
  		int now = out[to][j];
  		if((i+1)==((now+1)^1)) continue;
  		b.a[i][now]++;
    }
  }

注意不能通过具体的点来判断，而要判断是否为反向边。

然后我们强行令初始矩阵为dp[1][i]的值，就是强行走一步，然后快速幂出来\(k-1\)次方的值，二者相乘，最后求解即可。

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
#define int long long

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 150;
const int maxm = 1e5+1e2;
const int mod = 45989;

struct Ju{
    int x,y;
    int a[maxn][maxn];
    Ju operator * (Ju b)
    {
        Ju ans;
        memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
        ans.x=x;
        ans.y=b.y;
        for (register int i=1;i<=ans.x;++i)
          for (register int j=1;j<=ans.y;++j)
            for (register int k=1;k<=y;++k)
               ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
        return ans;
    }
};

Ju qsm(Ju i,int j)
{
    Ju ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    ans.x=i.x;
    ans.y=i.y;
    for (int p=1;p<=i.x;p++) ans.a[p][p]=1;
    while(j)
    {
    	if (j&1) ans=ans*i;
        i=i*i;
        j>>=1;
    }
    return ans;
};

Ju a,b;
int n,m,k,s,t;
int x[maxm],y[maxm],w[maxm];
int cnt=0;
vector<int> in[maxn],out[maxn];

signed main()
{
  n=read();m=read(),k=read(),s=read(),t=read();
  s++;
  t++;
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
  	 int u=read(),v=read();
  	 u++;
  	 v++;
  	 ++cnt;
  	 x[cnt]=u,y[cnt]=v;
  	 ++cnt;
  	 x[cnt]=v,y[cnt]=u;
  }
  for (int i=1;i<=cnt;i++)
  {
  	  out[x[i]].pb(i);
  	  in[y[i]].pb(i);
  }
  for (int i=1;i<=cnt;i++)
  {
  	int to = y[i];
  	for (int j=0;j<out[to].size();j++)
  	{
  		int now = out[to][j];
  		if((i+1)==((now+1)^1)) continue;
  		b.a[i][now]++;
    }
  }
  //for (int i=1;i<=cnt;i++)
 // {
  //	 for (int j=1;j<=cnt;j++) cout<<b.a[i][j]<<" ";
  //	 cout<<endl;
  //}
  for (int i=0;i<out[s].size();i++)
  {
  	 a.a[1][out[s][i]]++;
  	 //cout<<out[s][i]<<" "<<endl;
  }
  //cout<<"******************"<<endl;
  //for (int i=1;i<=cnt;i++) cout<<a.a[1][i]<<" ";
  //cout<<endl;
  a.x=1;
  a.y=cnt;
  b.x=cnt;
  b.y=cnt;
  b=qsm(b,k-1);
  a=a*b;
  int ans = 0;
  for (int i=1;i<=cnt;i++)
  {
  	 if (y[i]==t) ans=(ans+a.a[1][i])%mod;
  	 //cout<<ans<<endl;
  }
  cout<<ans;
  return 0;
}