洛谷/Codeforces CF865D 题解

若想要深入学习反悔贪心，传送门。

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Description:

已知接下来 \(n\) 天的股票价格，每天可以买入当天的股票，卖出已有的股票，或者什么都不做，求 \(n\) 天之后最大的利润。

Method：

我们可以快速想出一种贪心策略：买入价格最小的股票，在可以赚钱的当天卖出。

显然我们可以发现，上面的贪心策略是错误的，因为我们买入的股票可以等到可以赚最多的当天在卖出。

我们考虑设计一种反悔策略，使所有的贪心情况都可以得到全局最优解。（即设计反悔自动机的反悔策略）

定义 \(C_{buy}\) 为全局最优解中买入当天的价格， \(C_{sell}\) 为全局最优解中卖出当天的价格，则：

\[C_{sell}-C_{buy}=\left(C_{sell}-C_i\right)+\left(C_i-C_{buy}\right)
\]

\(C_i\) 为任意一天的股票价格。

即我们买价格最小的股票去卖价格最大的股票，以期得到最大的利润。我们先把当前的价格放入小根堆一次（这次是以上文的贪心策略贪心），判断当前的价格是否比堆顶大，若是比其大，我们就将差值计入全局最优解，再将当前的价格放入小根堆（这次是反悔操作）。相当于我们把当前的股票价格若不是最优解，就没有用，最后可以得到全局最优解。

上面的等式即被称为反悔自动机的反悔策略，因为我们并没有反复更新全局最优解，而是通过差值消去中间项的方法快速得到的全局最优解。

（假如还没有理解这道题，可以看一看代码，有详细的注释）

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >qu;//开一个小根堆
int n;
int ans=0;//全局最优解
signed main()
{
    read(n);
    ans=0;
    for(int i=1,x;i<=n;i++)
    {
        read(x);//当前的股票价格
        qu.push(x);//贪心策略：买价格最小的股票去买价格最大的股票
        if(!qu.empty()&&qu.top()<x)//假如当前的股票价格不是最优解
        {
            ans+=x-qu.top();//将差值计入全局最优解
            qu.pop();//将已经统计的最小的股票价格丢出去
            qu.push(x);//反悔策略：将当前的股票价格再放入堆中，即记录中间变量（等式中间无用的Ci）
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);//输出全局最优解
    return 0;
}