POJ 1830 【高斯消元第一题】

首先...使用abs()等数学函数的时候，浮点数用#include<cmath>，其它用#include<cstdlib>。

概念：

【矩阵的秩】

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

此题如果有解，解的个数便是2^(自由变元个数)，因为每个变元都有两种选择，既1 << n

对于r以下的行，必定全是0，那么如果a[i][n]!=0 必然出现矛盾，于是判定无解。

 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <stdio.h>
 using namespace std;

 const int MAXN = ;

 int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
 int x[MAXN];//解集
 bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元

 void Debug(int equ, int var){
     int i, j;
     for (i = ; i < equ; i++){
         for (j = ; j < var + ; j++){
             cout << a[i][j] << " ";
         }
         cout << endl;
     }
     cout << endl;
 }

 int gcd(int a, int b){
     int t;
     while (b != ){
         t = b;
         b = a%b;
         a = t;
     }
     return a;
 }
 int lcm(int a, int b){
     return a / gcd(a, b)*b;//先除后乘防溢出
 }

 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
 //-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
 //有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
 int Gauss(int equ, int var){
     int i, j, k;
     int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
     int col;//当前处理的列
     int ta, tb;
     int LCM;
     int temp;
     int free_x_num;
     int free_index;

     for (int i = ; i <= var; i++){
         x[i] = ;
         free_x[i] = true;
     }

     //转换为阶梯阵.
     col = ; // 当前处理的列
     for (k = ; k < equ && col < var; k++, col++){// 枚举当前处理的行.
         // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
         max_r = k;
         for (i = k + ; i<equ; i++){
             if (abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r = i;
         }
         if (max_r != k){// 与第k行交换.
             for (j = k; j < var + ; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
         }
         if (a[k][col] == ){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
             k--;
             continue;
         }
         for (i = k + ; i < equ; i++){// 枚举要删去的行.
             if (a[i][col] != ){
                 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                 ta = LCM / abs(a[i][col]);
                 tb = LCM / abs(a[k][col]);
                 if (a[i][col] * a[k][col] < )tb = -tb;//异号的情况是相加
                 for (j = col; j < var + ; j++)
                 {
                     a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
                 }
             }
         }
     }

     //  Debug();

     // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
     for (i = k; i < equ; i++){ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
         if (a[i][col] != ) return -;
     }
     // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
     // 且出现的行数即为自由变元的个数.
     if (k < var){
         // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
         for (i = k - ; i >= ; i--){
             // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
             // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
             free_x_num = ; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
             for (j = ; j < var; j++){
                 if (a[i][j] !=  && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
             }
             if (free_x_num > ) continue; // 无法求解出确定的变元.
             // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
             temp = a[i][var];
             for (j = ; j < var; j++){
                 if (a[i][j] !=  && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
             }
             x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
             free_x[free_index] = ; // 该变元是确定的.
         }
         return var - k; // 自由变元有var - k个.
     }
     // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
     // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
     for (i = var - ; i >= ; i--){
         temp = a[i][var];
         for (j = i + ; j < var; j++){
             if (a[i][j] != ) temp -= a[i][j] * x[j];
         }
         if (temp % a[i][i] != ) return -; // 说明有浮点数解，但无整数解.
         x[i] = temp / a[i][i];
     }
     return ;
 }
 int start[MAXN];
 int endd[MAXN];

 int main(){
     int t;
     cin >> t;
     while (t--){
         int n;
         cin >> n;
         for (int i = ; i < n; i++) cin >> start[i];
         for (int i = ; i < n; i++) cin >> endd[i];
         memset(a, , sizeof(a));
         int b, c;
         while (cin >> b >> c && (b || c)){
             a[c - ][b - ] = ;
         }
         for (int i = ; i < n; i++)a[i][i] = ;
         for (int i = ; i < n; i++)a[i][n] = start[i] ^ endd[i];
         //Debug(n, n);
         int ans = Gauss(n, n);
         if (ans == -) cout << "Oh,it's impossible~!!" << endl;
         else cout << ( << ans) << endl;
     }
 }

From:http://blog.csdn.net/zhengnanlee/article/details/11602995