【题解】P1020 导弹拦截

从n^2到nlogn

第二问就是贪心,不多说

第一问:

简化题意:求最长不下降子序列

普通n^2:

for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j < i; j++)
if(a[j] >= a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
cout << f[n];

另一种n^2级,可能快一点点(还没交,不知对不对)

f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if(a[i] == 0)
continue;
f[a[i]] = f[a[i] - 1] + 1;
for (int j = a[i]; j <= max_ai; j++)
f[j] = max(f[j], f[a[i]]);
}
cout << f[max_ai] << endl;

接下来就是大佬讲的nlogn

题解(@w1049344862)

首先是upper_bound() 和lower_bound()的用法

然后是神奇的栈操作

w1049344862曰:

O(nlogn)求出最长不上升子序列的长度

(即一套系统最多拦截数)

1.实现方式

首先我们需要一个数组a,存储从第1个到第n个导弹的高度

然后一个数组d(其实是个栈),存储不上升序列

把a中的每个元素挨个加到d里面:

(a中第i个元素为a[i],d长度为len,d中最后一个(也是最小的一个)为d[len])

如果a[i] <= d[len],说明a[i]可以接在d后面(而整个d还是有序的),那就简单粗暴地把a[i]丟进d:

d[ ++len ] = a[i]

如果a[i] > d[len],说明a[i]接不上

但是我们发扬瞎搞精神:接的上要接,接不上创造条件也要接!

强行把a[i]塞进去:

在d中找到第一个小于a[i]的数,把它踹了,用a[i]代替它!(为什么正确在下面)

假设这个数是y,怎样踹掉它呢?

很明显,我们需要使用lower_bound和upper_bound来查找

第一步,找一个听起来无比正确的理由,比如它占着位置不干活啦,干起活来还不如a[i]啦,naive啦,它too young啦,too simple啦......反正能骗过lower_bound和upper_bound就行

(lower_bound&&upper_bound:你当我们傻)(w1049:真聪明)

接下来,特别有正义感的lower_bound和upper_bound就会去把y给拎出来

第二步,考虑使用什么

我们知道,要求的是最大不上升子序列长度,也就是如果两个元素相等也是可以的

所以我们踹人就不用踹等于a[i]的了

结合上面,应该使用upper_bound(终于想起来它了)并且使用>作为比较器(这是个下降序列)

第三步,直接开搞

int p = upper_bound(d + 1, d + 1 + len, a[i], greater () ) - d;

d[p] = a[i];

成功把a[i]塞了进去

2.为什么正确

显然成立

如果y在末尾,由于y < a[i],所以y后面能接的不如a[i]多,y让位给a[i]可以让序列更长

如果y不在末尾,那y有生之年都不会再被用到了,直接踹了y就行,y咋样,who care?

注意到lower_bound只能在有序序列中使用,此时d还有序吗?

当然有序。(本文第一个句号)

假设y前一个y1,y后一个是y2,则

y1 > y > y2

因为y是第一个小于a[i]的,所以

y1 > a[i]

又因为

a[i] > y > y2

所以

y1 > a[i] > y2

对比下原来的式子

y1 > y > y2

a[i]可以完美代替y,至于y以后咋办,who care?

对于最长上升子序列,只需要把上面的过程通通换一下符号

可以用以下方法证明:

反之亦然同理,推论自然成立,略去过程QED,由上可知证毕(多么美妙的证明)

3.代码:

for(int i=2;i<=n;i++)

if(d[len]>=a[i])d[++len]=a[i];

else {

int p=upper_bound(d+1,d+1+len,a[i],greater())-d;

d[p]=a[i];

}

最后len就是要求的最大不上升子序列长度

但要注意的是,d中存储的并不是最大不上升子序列!

原因如下:

即得易见平凡,仿照上例显然,留作习题答案略,读者自证不难

以上是洛谷题解)哈哈,诙谐的作业确让人思考

为啥len=答案??

每加入一个,肯定是经比较满足最长不下降子序列后才扩栈的。

也就是在第i个元素时,len一旦+1,前提都是存在以a[i]结尾的且长为len的最长不下降子序列。

你想,更新栈内元素,使小的被较大的覆盖,并不改变原来元素所构成的序列的存在性。(这就是正确性)

而这次更新的操作,是为了贪心得到更优解(当然不是让栈内成为新的序列(栈内本来就不是个序列))。

下次有元素,加到大点的元素后面比加到小点的元素后面更优。为啥??

他的作用体现出来就是更新到栈顶时,栈顶元素变大了,自然就更有可能多捞一个比它小的新元素。

AC代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>
#define N 100010
#define F(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define UF(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
using namespace std;
int a[N], n, len, d[N], max_ai, ans;
int high[50010];
int main()
{
while(cin >> a[++n])
max_ai = max(max_ai,a[n]);
n--;
d[++len] = a[1];
F(i,2,n){
if(a[i] <= d[len])
d[++len] = a[i];
else{
int p1=upper_bound(d+1,d+1+len,a[i],greater<int>())-d;//upper_bound() 本来是找大于a[i]的,此找小于a[i]的,利用greater
d[p1] = a[i];
}
}
// F(i,1,len) cout << d[i] << " ";
// cout << endl;
cout << len << endl;
F(i,1,n){
int t = 0;
F(j,a[i],max_ai){
if(high[j]){
high[j] --;
high[a[i]] ++;
t = 1;
break;
}
}
if(!t){
high[a[i]] ++;
ans ++;
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}

总结

写博客方面:

1.如果是给别人看,语言要有逻辑顺序,应该对铺垫知识先行处理。即使写给自己,这也是个好习惯。

2.短句

3.轻松诙谐

最重要还是学了upper_bound()和upper_bound()(仅仅是知道)

更重要是了解了这巧妙的思想

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