[NOIp 2017]宝藏

Description

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋， 也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的 m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远， 也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：

$$\mathrm{L} \times \mathrm{K}$$

L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋） 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代 价最小，并输出这个最小值。

Input

第一行两个用空格分离的正整数 n 和 m，代表宝藏屋的个数和道路数。

接下来 m 行，每行三个用空格分离的正整数，分别是由一条道路连接的两个宝藏 屋的编号（编号为 1~n），和这条道路的长度 v。

Output

输出共一行，一个正整数，表示最小的总代价。

Sample Input1

4 5
1 2 1
1 3 3
1 4 1
2 3 4
3 4 1

Sample Output1

4

Sample Explanation1

Sample Input2

4 5
1 2 1
1 3 3
1 4 1
2 3 4
3 4 2

Sample Output2

5

Sample Explanation2

HINT

对于 20%的数据： 保证输入是一棵树，$1 \le n \le 8$，$v \le 5000$ 且所有的 v 都相等。

对于 40%的数据： $1 \le n \le 8$，$0 \le m \le 1000$，$v \le 5000$ 且所有的 v 都相等。

对于 70%的数据： $1 \le n \le 8$，$0 \le m \le 1000$，$v \le 5000$

对于 100%的数据： $1 \le n \le 12$，$0 \le m \le 1000$，$v \le 500000$

题解

很容易想到最后构成的图就是一棵树。

比较容易想到的$70pts$就是用搜索来确定这棵树的形态。

我们先枚举根节点，再搜索来确定其父节点。

正解则是子集$DP$了。

我们考虑到什么状态是无后效性的？记$f_{dep,i}$，表示生成树中最深的点深度为$dep$，选点的状态为$i$的最小花费。

转移的话就是考虑第$dep+1$层需要连接哪些点，即$$f_{dep+1,i|j} = min \{f_{dep,i}+(dep+1)*qval_{j,i}\}$$

其中$j$表示第$dep+1$层连的点，$i∩j =  \emptyset$；$qval_{j,i}$表示集合$j$中所有的点连向集合$i$中的点最小花费和。

对于$qval$的值我们可以通过$$qval_{j,i} = \sum_{u∈j} sval_{u,i}$$

计算出，其中$sval_{u,i}$表示点$u$到集合$i$中的点最小距离。

显然$$sval_{u,i} = \min_{v∈i} \{w[u][v]\}$$

值得注意的是，其中会有很多不合法的状况，比如对于转移时$j$集合中的点并不是严格的在第$dep+1$层。但可以证明的是，这种不合法的情况总比最优解差。我们允许这种不合法的情况存在。

时间复杂度$O(3^n*n^2)$。

 //Is is made by Awson on 2017.12.17
 #include <set>
 #include <map>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define LL long long
 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 using namespace std;
 const int N = ;
 const int SIZE = <<;
 const int INF = ~0u>>;

 int n, m, u, v, c, U;
 int g[N+][N+];
 LL sval[N+][SIZE+], qval[SIZE+][SIZE+], f[N+][SIZE+];

 void work() {
     scanf("%d%d", &n, &m); U = (<<n)-;
     memset(g, , sizeof(g));
     for (int i = ; i <= m; i++) {
         scanf("%d%d%d", &u, &v, &c);
         g[u][v] = g[v][u] = Min(c, g[u][v]);
     }
     memset(sval, /, sizeof(sval));
     for (int u = ; u <= n; u++)
         for (int i = ; i <= U; i++)
             for (int v = ; v <= n; v++)
                 if ((<<v-)&i) sval[u][i] = Min(sval[u][i], 1ll*g[u][v]);
     memset(qval, /, sizeof(qval));
     for (int i = ; i <= U; i++) {
         int C = i^U;
         for (int j = C; j; j = (j-)&C) {
             LL cnt = ;
             for (int u = ; u <= n; u++)
                 if ((<<u-)&j) cnt += sval[u][i];
             qval[j][i] = Min(qval[j][i], cnt);
         }
     }
     LL ans = 1ll*INF;
     for (int root = ; root <= n; root++) {
         memset(f, /, sizeof(f)); LL inf = f[][];
         f[][<<root-] = ;
         for (int dep = ; dep < n; dep++)
             for (int i = ; i <= U; i++) if (f[dep][i] != inf) {
                 int C = i^U;
                 for (int j = C; j; j = (j-)&C)
                     f[dep+][i|j] = Min(f[dep+][i|j], f[dep][i]+qval[j][i]*(dep+));
             }
         for (int i = ; i < n; i++) ans = Min(ans, f[i][U]);
     }
     printf("%lld\n", ans);
 }
 int main() {
     work();
     return ;
 }