状压DP【p2622】 关灯问题II

题目描述--->P2622 关灯问题II

没用的话:

首先第一眼看到题,嗯?n<=10?搜索?

满心欢喜地敲了一通搜索。

交上去,Wa声一片?

全部MLE! 这么坑人神奇?

一想,可能是爆栈了 emmm

思考了一番看了下题解&&标签

哦原来是状压DP

情不自禁地分析

n<=10.

最多只有(2<<10)-1=1023种状态

我们完全可以用数组存储状态.

以样例为例： 算了 太辣鸡了,我自己瞎出吧.

如果n=8,即一共有8盏灯.

初始状态它们全开着,我们可以认为是这样的↓
1 1 1 1 1 1 1 1
我们用十进制数(1<<8)-1=255存储这一状态.

此时,如果有一个按钮可以关掉第7个灯(从右向左数).

我们如何做到这一操作?↓

你应该会想到通过位运算操作.
那我们应该 1<< ?才能对应上第七个灯呢?

不妨尝试一下1<<7 是这样↓
1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 //初始状态
我们发现：哇!到了第8个灯!

所以说我们应该1<<6 得到这样↓
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
这时,我们就可以控制第7个灯了!

---

你会不会有疑问?(好吧,我强加的

为什么算状态的时候是(1<<n)-1?

而算第i个灯的时候是1<<(i-1)个?

'<<'操作是我们把1进行平移(我思想中的平移

演示一下这个过程.

  0000000001   //某一个2进制下的数
  0000000010   //原数<<1
  0000000100   //原数<<2
  .
  .
  以此类推.

我们发现,1<<i,我们的1后面就会有i个0

如果1<<n位(这里以8为例)

得到1 0 0 0 0 0 0 0 0
数一下 这一共是9个灯.
-1之后,我们得到这样的东西↓
    0 1 1 1 1 1 1 1 1
 //这表示一共有8个灯,全部开着.

所以想要计算这是哪一种状态,我们就可以(1<<n)-1了

这样疑问就解决了//如果不理解再回去看看,动手试试

---

题目三种操作.

如果a[i][j]为1,那么当这盏灯开了的时候,把它关上,否则不管；如果为-1的话,如果这盏灯是关的,那么把它打开,否则也不管;如果是0,无论这灯是否开,都不管。

首先请看清上面三种操作,再向下看

对于操作1,我们难点就在于判断当前状态下这盏灯是否开着.

如果你懂得&操作,那就很简单了！

-----------------介绍一下&---------------

按位与操作,1&0=1,1&1=1,0&0=0;

两边全部是1才为1,否则为0.

-----------------介绍完毕-------------------

&操作可以判断某一位上的灯是否开着.(注意只能是这一位.

如果你会了如何判断这个灯开着,那么关着就是!了

这样我们的问题就得以解决了.

设f[i]代表到达i这种状态的最少操作次数.

如何写代码？↓

for(RI i=(1<<n)-1;i>=0;i--)//枚举状态
	{
		for(RI j=1;j<=m;j++)//枚举开关
		{
			int now=i;//我们的now最终会变为,按完这个开关后的状态.
			for(RI l=1;l<=n;l++)//枚举控制的灯.
			{
				if(a[j][l]==0)continue;//不操作
				if(a[j][l]==1 and (i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));//第一个操作
				if(a[j][l]==-1 and !(i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));
                //第二个操作
			}
			f[now]=std::min(f[now],f[i]+1);//常规操作,求最小操作次数.
            //因为我们可以通过i状态操作按一个开关到达now状态.
            //所以是f[i]+1.
		}
	}

尝试解释一下为什么第一层是枚举状态.

我们的开关可以控制所有状态来得到下一个状态.

而且我们的初始状态是全部开着,需要倒着枚举.直到为0(全部关闭).

所以我们的答案就是f[0].

--------------------代码--------------------

#include<bits/stdc++.h>
#define IL inline
#define RI register int
IL void in(int &x)
{
	int f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}
int a[108][18],f[2048],n,m;
int main()
{
	in(n),in(m);
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	for(RI i=1;i<=m;i++)
		for(RI j=1;j<=n;j++)
			in(a[i][j]);
	f[(1<<n)-1]=0;//灯全开着的操作次数为0
	//printf("%d",(1<<n)-1);
	for(RI i=(1<<n)-1;i>=0;i--)
	{
		for(RI j=1;j<=m;j++)
		{
			int now=i;
			for(RI l=1;l<=n;l++)
			{
				if(a[j][l]==0)continue;
				if(a[j][l]==1 and (i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));
				if(a[j][l]==-1 and !(i&(1<<(l-1)))) now^=(1<<(l-1));
			}
			f[now]=std::min(f[now],f[i]+1);
		}
	}
	printf("%d",f[0]==1061109567?-1:f[0]);
    //这个奇怪的数字就是memset 0x3f得出来的
    //并无什么其他意义
}