ZOJ Monthly, March 2018

A. Easy Number Game

贪心将第$i$小的和第$2m-i+1$小的配对即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m,i,Case,a[N];long long ans;
int main(){
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		sort(a+1,a+n+1);
		ans=0;
		for(i=1;i<=m;i++)ans+=1LL*a[i]*a[m*2+1-i];
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

　　

B. Lucky Man

$\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{n-i+1}\rfloor=\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=\sum_{i=1}^n d(i)$

设$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}$，则$d(n)=(k_1+1)(k_2+1)...(k_m+1)$，当且仅当所有$k$都为偶数时$d(n)$模$2$才为$1$。

故答案就是$n$以内完全平方数的个数的奇偶性，即$\lfloor{\sqrt{n}}\rfloor\bmod 2$，牛顿迭代法开根号即可。

C = int(raw_input())
for i in range(0, C):
  n = int(raw_input())
  if n < 2 :
    print n
    continue
  m = 2
  tmpn, len = n, 0
  while tmpn > 0:
    tmpn /= 10
    len += 1
  base, digit, cur = 300, len / m, len % m
  while (cur + m <= base) and (digit > 0):
    cur += m
    digit -= 1
  div = 10 ** (digit * m)
  tmpn = n / div
  x = int(float(tmpn) ** (1.0 / m))
  x *= (10 ** digit)
  while True:
    x0 = x
    x = x + x * (n - x ** m) / (n * m)
    if x == x0: break
  while (x + 1) ** m <= n:
    x = x + 1
  print x % 2

　　

C. Travel along the Line

枚举$1$的个数，那么$-1$和$0$的个数也就知道了，组合数计算概率即可，时间复杂度$O(n)$。

#include<cstdio>
const int N=1000010,P=1000000007;
int i,fac[N],inv[N],Case,n,m,x,y,z,ans,p[N];
inline int C(int n,int m){return n<m?0:1LL*fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
int main(){
	for(fac[0]=fac[1]=1,i=2;i<N;i++)fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%P;
	for(inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<N;i++)inv[i]=1LL*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;
	for(i=2;i<N;i++)inv[i]=1LL*inv[i-1]*inv[i]%P;
	for(p[0]=1,p[1]=inv[2],i=2;i<N;i++)p[i]=1LL*p[i-1]*p[1]%P;
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		ans=0;
		for(i=0;i<=n;i++){
			x=i;//1
			y=i-m;//-1
			z=n-x-y;//0
			if(y<0||y>n||z<0||z>n)continue;
			ans=(1LL*C(n,x)*C(n-x,y)%P*p[(x+y)*2+z]+ans)%P;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}

　　

D. Machine Learning on a Tree

问题等价于给每个$y=-1$的点确定一个$0$或者$1$的颜色，使得树上相邻异色点对数量最少。

树形DP，设$f[i][j]$表示考虑$i$的子树，$i$点颜色为$j$时相邻异色点对数量的最小值。

时间复杂度$O(n)$。

#include<cstdio>
const int N=100010,inf=100000000;
inline void up(int&a,int b){a>b?(a=b):0;}
int Case,n,a[N],i,x,y,f[N][2],h[2],g[N],v[N<<1],nxt[N<<1],ed;
inline void add(int x,int y){v[++ed]=y;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;}
void dfs(int x,int y){
	f[x][0]=f[x][1]=inf;
	if(a[x]==0)f[x][0]=0;
	else if(a[x]==1)f[x][1]=0;
	else f[x][0]=f[x][1]=0;
	for(int i=g[x];i;i=nxt[i]){
		int u=v[i];
		if(u==y)continue;
		dfs(u,x);
		for(int j=0;j<2;j++)h[j]=inf;
		for(int j=0;j<2;j++)for(int k=0;k<2;k++)up(h[j],f[x][j]+f[u][k]+(j^k));
		for(int j=0;j<2;j++)f[x][j]=h[j];
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		for(ed=i=0;i<=n;i++)g[i]=0;
		for(i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
		dfs(1,0);
		up(f[1][0],f[1][1]);
		printf("%d\n",f[1][0]);
	}
}

　　

E. Yet Another Tree Query Problem

$[l,r]$的连通块数量$=$点数$-$边数$=r-l+1-$两端点都在该区间内的树边数量。

二维数点问题，扫描线+树状数组即可。

时间复杂度$O(n\log n)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200010;
int Case,n,m,i,x,y,ans[N],bit[N],ce;
struct E{int x,y,t;E(){}E(int _x,int _y,int _t){x=_x,y=_y,t=_t;}}e[N*3];
inline bool cmp(const E&a,const E&b){
	if(a.x!=b.x)return a.x>b.x;
	return a.t<b.t;
}
inline void add(int x){for(;x<=n;x+=x&-x)bit[x]++;}
inline int ask(int x){int t=0;for(;x;x-=x&-x)t+=bit[x];return t;}
int main(){
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		ce=0;
		for(i=1;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			if(x>y)swap(x,y);
			e[++ce]=E(x,y,0);
		}
		for(i=1;i<=m;i++){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			ans[i]=y-x+1;
			e[++ce]=E(x,y,i);
		}
		sort(e+1,e+ce+1,cmp);
		for(i=1;i<=n;i++)bit[i]=0;
		for(i=1;i<=ce;i++)if(e[i].t)ans[e[i].t]-=ask(e[i].y);else add(e[i].y);
		for(i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);
	}
}

　　

F. And Another Data Structure Problem

对于题中所给模数，每个数操作很少步之后就会进入循环。

每个循环长度都很小，且长度不同的循环一共$5$种，长度之和不超过$70$。

线段树每个区间维护区间内尚未进入循环的数字个数、所有数的和、以及对于每种长度的循环，假设长度为$len$，维护$f[0..len-1]$，其中$f[i]$表示若继续在这个区间整体立方操作$i$次，在$len$长度的循环中所有数的和。

对于立方操作，若区间还存在尚未进入循环的数字，则暴力递归修改，否则打标记。

标记下放/生效时，假设标记是区间整体操作了$p$次，那么将$f[i]$赋值给$f[(i-p)\bmod len]$即可。

时间复杂度$O(n\log n\times 常数)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=100010,M=262150,P=99971;
int i,j,k,vis[N],f[N],q[N],m,mark[N];
int tot,cur,cnt,have[N],len[100],st[100],en[100],posx[N],posy[N];
int tag[M],val[M][72],ok[M][5],sum[M],ret[M];
int Case,n,qqq,op,x,y,a[N];
inline void add1(int x,int p){
	static int pool[1000];
	tag[x]+=p;
	int s=sum[x];
	for(int i=0;i<cnt;i++)if(ok[x][i]){
		int l=len[i],ST=st[i];
		int t=p%l;
		t=(l-t)%l;
		if(!t)continue;
		s-=val[x][ST];
		if(s<0)s+=P;
		int j;
		memcpy(pool+t,val[x]+ST,(l-t)<<2);
		memcpy(pool,val[x]+ST+l-t,t<<2);
		memcpy(val[x]+ST,pool,l<<2);
		//for(j=0;j+t<l;j++)pool[j+t]=val[x][ST+j];
		//for(;j<l;j++)pool[j+t-l]=val[x][ST+j];
		//for(j=0;j<l;j++)val[x][ST+j]=pool[j];
		s+=val[x][ST];
		if(s>=P)s-=P;
	}
	sum[x]=s;
}
inline void pb(int x){
	if(tag[x]){
		add1(x<<1,tag[x]);
		add1(x<<1|1,tag[x]);
		tag[x]=0;
	}
}
inline void upd(int&a,int b){a=a+b<P?a+b:a+b-P;}
inline void up(int x){
	sum[x]=(sum[x<<1]+sum[x<<1|1])%P;
	ret[x]=ret[x<<1]+ret[x<<1|1];
	for(int i=0;i<cnt;i++)ok[x][i]=ok[x<<1][i]+ok[x<<1|1][i];
	if(!ret[x])for(int i=0;i<cur;i++){
		val[x][i]=val[x<<1][i];
		upd(val[x][i],val[x<<1|1][i]);
	}
}
inline void init(int x,int y){
	for(int i=0;i<cnt;i++)ok[x][i]=0;
	sum[x]=y;
	if(!mark[y]){
		ret[x]=1;
	}else{
		ret[x]=0;
		for(int i=0;i<cur;i++)val[x][i]=0;
		int o=posx[y];
		ok[x][o]=1;
		for(int i=0;i<len[o];i++){
			val[x][st[o]+i]=y;
			y=f[y];
		}
	}
}
void build(int x,int a,int b){
	tag[x]=0;
	if(a==b){
		init(x,::a[a]);
		return;
	}
	int mid=(a+b)>>1;
	build(x<<1,a,mid);
	build(x<<1|1,mid+1,b);
	up(x);
}
void change(int x,int a,int b,int c,int d){
	if(c<=a&&b<=d){
		if(!ret[x]){
			add1(x,1);
			return;
		}
		if(a==b){
			init(x,::a[a]=f[::a[a]]);
			return;
		}
	}
	pb(x);
	int mid=(a+b)>>1;
	if(c<=mid)change(x<<1,a,mid,c,d);
	if(d>mid)change(x<<1|1,mid+1,b,c,d);
	up(x);
}
int ask(int x,int a,int b,int c,int d){
	if(c<=a&&b<=d)return sum[x];
	pb(x);
	int mid=(a+b)>>1,t=0;
	if(c<=mid)t=ask(x<<1,a,mid,c,d);
	if(d>mid)t+=ask(x<<1|1,mid+1,b,c,d);
	return t%P;
}
int main(){
	for(i=0;i<P;i++)f[i]=1LL*i*i%P*i%P;
	for(i=0;i<P;i++)have[i]=-1;
	for(i=0;i<P;i++)if(!vis[i]){
		for(j=i;!vis[j];j=f[j])vis[j]=1;
		if(mark[j])continue;
		q[m=1]=j;
		for(k=f[j];k!=j;k=f[k])q[++m]=k;
		for(j=1;j<=m;j++)mark[q[j]]=1;
		if(have[m]==-1){
			have[m]=cnt;
			len[cnt]=m;
			st[cnt]=cur;
			en[cnt]=cur+m;
			cur+=m;
			//[st,en)
			cnt++;
		}
		for(j=1;j<=m;j++)posx[q[j]]=have[m],posy[q[j]]=j-1;
	}
	scanf("%d",&Case);
	//Case=1;
	while(Case--){
		scanf("%d%d",&n,&qqq);
		//n=100000;
		//qqq=100000;
		for(i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
			//a[i]=rand();
			a[i]%=P;
		}
		build(1,1,n);
		while(qqq--){
			//op=rand()%2+1;
			//x=rand()%n+1;
			//y=rand()%n+1;
			//if(x>y)swap(x,y);
			scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
			if(op==1)change(1,1,n,x,y);
			else printf("%d\n",ask(1,1,n,x,y));
		}
	}
}

　　

G. Neighboring Characters

首先将环倍长，破环成链，那么剩下的子串要满足相邻字符不同且首尾字符不同。

通过双指针求出每一段极长的子串，满足相邻字符不同，设这一段长度为$len$，从$2$到$len$枚举剩下的串的长度$L$，若该子串长度为$len-L+1$的前后缀不能完全匹配，则说明存在距离为$L-1$的位置不同，也就能充当首尾，Hash判断即可。

时间复杂度$O(n)$。

#include<cstdio>
#include<cstring>
typedef long long ll;
const int N=2000010,D=233,P=1000000009;
int C,n,m,i,j,k,len;char a[N],ans[N];ll pow[N],f[N];
int Case;
inline ll hash(int l,int r){return((f[r]-f[l-1]*pow[r-l+1])%P+P)%P;}
int main(){
  for(pow[0]=i=1;i<N;i++)pow[i]=pow[i-1]*D%P;
  scanf("%d",&Case);
  while(Case--){
  	scanf("%s",a+1);
    n=strlen(a+1);m=n+n;
    for(i=1;i<=n;i++)a[i+n]=a[i];
    for(i=1;i<=m;i++)f[i]=(f[i-1]*D+a[i])%P;
    for(i=0;i<n;i++)ans[i]='0';
    for(i=1;i<=m;i=j+1){
      for(j=i;j<m&&a[j]!=a[j+1];j++);
      len=j-i+1;
      for(k=2;k<=len&&k<=n;k++)if(hash(i,i+len-k)!=hash(j-len+k,j))ans[n-k]='1';
    }
    for(i=0;i<n-1;i++)putchar(ans[i]);puts("1");
  }
  return 0;
}

　　

H. Happy Sequence

$f[i][j]$表示长度为$i$的序列，最后一项为$j$的方案数，调和级数枚举$j$的倍数$k$转移给$f[i+1][k]$即可。

时间复杂度$O(mn\log n)$。

#include<cstdio>
const int N=2010,P=1000000007;
int Case,n,m,i,j,k,f[N][N],ans;
inline void up(int&a,int b){a=a+b<P?a+b:a+b-P;}
int main(){
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d%d",&n,&m);//length m
		for(i=0;i<=m;i++)for(j=1;j<=n;j++)f[i][j]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)f[1][i]=1;
		for(i=1;i<m;i++)for(j=1;j<=n;j++)for(k=j;k<=n;k+=j)up(f[i+1][k],f[i][j]);
		ans=0;
		for(i=1;i<=n;i++)up(ans,f[m][i]);
		printf("%d\n",ans);
	}
}

　　

I. Your Bridge is under Attack

因为点随机生成，所以对所有点建立KD-Tree。

对于每个查询操作，在KD-Tree上从根往下递归查找，若查询直线与当前点子树的最小包围矩形不相交，则显然无解，直接退出。

因为随机情况下答案很小，所以加上这条剪枝即可通过。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int N=100010;
using namespace std;
typedef long long ll;
int Case,n,m,i,root,cmp_d,ans,A,B;
ll LB,LA,LC;
struct node{
	int d[2];
	int l,r;
	int Max[2],Min[2];
	int sum;
}t[N];
inline bool cmp(const node&a,const node&b){
	return a.d[cmp_d]<b.d[cmp_d];
}
inline void umax(int&a,int b){if(a<b)a=b;}
inline void umin(int&a,int b){if(a>b)a=b;}
inline void up(int x){
	if(t[x].l){
		umax(t[x].Max[0],t[t[x].l].Max[0]);
		umin(t[x].Min[0],t[t[x].l].Min[0]);
		umax(t[x].Max[1],t[t[x].l].Max[1]);
		umin(t[x].Min[1],t[t[x].l].Min[1]);
	}
	if(t[x].r){
		umax(t[x].Max[0],t[t[x].r].Max[0]);
		umin(t[x].Min[0],t[t[x].r].Min[0]);
		umax(t[x].Max[1],t[t[x].r].Max[1]);
		umin(t[x].Min[1],t[t[x].r].Min[1]);
	}
}
int build(int l,int r,int D){
	int mid=(l+r)>>1;
	cmp_d=D;
	nth_element(t+l+1,t+mid+1,t+r+1,cmp);
	t[mid].Max[0]=t[mid].Min[0]=t[mid].d[0];
	t[mid].Max[1]=t[mid].Min[1]=t[mid].d[1];
	t[mid].sum=1;
	if(l!=mid)t[mid].l=build(l,mid-1,!D);else t[mid].l=0;
	if(r!=mid)t[mid].r=build(mid+1,r,!D);else t[mid].r=0;
	up(mid);
	return mid;
}
inline bool check(int xl,int xr,int yl,int yr){
	ll t=-LB*xl+LC;
	if(LA*yl<=t&&t<=LA*yr)return 1;
	t=-LB*xr+LC;
	if(LA*yl<=t&&t<=LA*yr)return 1;
	t=-LA*yl+LC;
	if(LB*xl<=t&&t<=LB*xr)return 1;
	t=-LA*yr+LC;
	if(LB*xl<=t&&t<=LB*xr)return 1;
	return 0;
}
void ask(int x){
	if(!check(t[x].Min[0],t[x].Max[0],t[x].Min[1],t[x].Max[1]))return;
	if(LB*t[x].d[0]+LA*t[x].d[1]==LC)ans++;
	if(t[x].l)ask(t[x].l);
	if(t[x].r)ask(t[x].r);
}
int main(){
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i].d[0],&t[i].d[1]);
		root=build(1,n,0);
		while(m--){
			scanf("%d%d",&A,&B);
			LA=A;
			LB=B;
			LC=LA*LB;
			ans=0;
			ask(root);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
}

　　

J. Super Brain

按题意模拟即可。

#include<cstdio>
const int N=1000010;
int Case,n,i,a[N],b[N],f[N],g[N],ans;
int main(){
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),f[a[i]]=g[a[i]]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]),f[b[i]]=g[b[i]]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)f[a[i]]++;
		for(i=1;i<=n;i++)g[b[i]]++;
		for(i=1;i<=n;i++)if(f[a[i]]==1&&g[a[i]]==1)ans=a[i];
		for(i=1;i<=n;i++)if(f[b[i]]==1&&g[b[i]]==1)ans=b[i];
		printf("%d\n",ans);
	}
}