Implicit隐式渲染入门 SDF SphereTracing

Implicit

何为隐式？隐式（Implicit）的是显式（explicit）的反义词。

explicit可以简单理解为用网格等信息描述的几何形状，网格信息是离散的，信息量越大描述越精准。Implicit则不需要顶点等显式信息，用方程，或者说有符号距离场 (Signed Distance Field) 即SDF，表示几何形状的数学模型。

SDF

在SDF中，空间中的每一点都有一个值，表示该点到最近表面的距离。这个距离可以是正的（如果点在形状的外部），也可以是负的（如果点在形状的内部）。SDF提供了一种简洁而强大的方式来描述复杂的三维形状，包括难以用传统多边形网格表示的形状。

SDF的优势：

高效的几何操作：进行布尔运算以及形状变形和平滑处理变得简单高效。
复杂形状的表示：特别适合描述复杂或有机形状，如流体、云雾和生物组织。
动态变化的支持：使实时更新和变形成为可能。

对几何primitive的sdf描述

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Sphere Tracing

why

传统的光线追踪算法，通过发送光线并检测这些光线与场景中物体的交点，进行着色。但是当场景使用SDF来表示时，传统的交点检测方法不再适用。原因在于SDF和多边形网格表示场景的方式截然不同：

顶点表示：在传统的多边形网格表示中，物体由许多小的平面片（通常是三角形）构成的。这些三角形有明确的边界和顶点，因此当光线与这些三角形相交时，可以通过数学计算找到精确的交点。
SDF表示：相比之下，SDF场景被视为一个连续的体。体中每个点都有一个值，表示该点到最近表面的距离。这种表示方法不涉及明确的边界或顶点，而是提供关于形状表面的连续信息。

由于SDF没有离散的多边形或边界，传统的光线与多边形的交点检测算法（通常涉及线性代数和平面几何计算）不再适用。在SDF表示的场景中，没有明确的多边形表面可以直接与光线进行交点计算。因此需要Sphere Tracing这样的算法来处理SDF场景。

How

原版的SphereTracing十分讨巧，其基本原理非常简洁，也非常聪明：

从点 $p_0$ 开始投射一条 ray，以 SDF 值 $f(p_0)$ 为步长进行一次 marching。
以上次 marching 的终点为起点，以 $f(p_1)$ 为步长继续下一次 marching。
重复 marching 直到 $f(p_n)$ < $\epsilon$ , $\epsilon$ 为预设的阈值。此时我们认为 $f(p_n)$ 即为交点。

Enhanced Sphere Tracing

上述的传统 Sphere Tracing 算法冗余的步进次数很多，为了进一步提高效率，诞生了很多种优化方案。

binary search 二分查找法，实际效果不理想，并且遇上TPMS这种复杂结构会有更多问题

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Segment Tracing 通过假设场景是 $C^2$ 连续去加长初始 marching 的距离，有效减少 marching 次数的同时，大幅提升了每次 marching 的消耗，效果不理想，并且在有棱角的场景表现更差

https://diglib.eg.org/bitstream/handle/10.1111/cgf13951/v39i2pp545-554.pdf

GitHub - aparis69/Segment-Tracing: Source code for the Computer Graphics Forum paper: Segment Tracing Using Local Lipschitz Bounds. Presented at Eurographics 2020.

【光线追踪】Segment Tracing:一种可能加速距离场求交的实时光线追踪方案 - 知乎 (zhihu.com)

Enhanced Sphere Tracing 采用激进的 marching 步长，即设定一个步长倍数$\alpha$ ，marching 步长改为 $f(p_n) * \alpha$ 而不是 Sphere Tracing 保守的 $f(p_n)$ 。只要两个 sphere 相交，就说明本次 marching 可安全，否则退回到点 $p_n$ 的位置重新进行保守的 marching。

Accelerating Sphere Tracing 在 enhanced 的基础上更进一步。假设前两次 marching 所形成的 sphere 都相切于同一平面，那么下一次可以尝试 marching 同样与该平面相切并且也与上一次的 marching sphere 相切的距离。同样，如果尝试失败则回退至保守 marching。

上述两个方法都是在2023年以前最优秀的 marching 算法之一，直到 Automatic Step Size Relaxation。

Automatic step size relaxation

Automatic step size relaxation 可以根据历史 marching 的情况，动态调整步长：平面多的地方。可以走相切平面的激进步长，而曲面多的地方则调整为走更保守的步长。

每次 marching 不断更新近似斜率 m，然后用它来指导下一次 marching。

博主拙劣的C++实现

auto trace_auto_relaxation = [&](glm::vec3 p)

{

	float t = 0.0f;

	float r = sdf(p);

	float m = -1.0f;

	float z = r;

	const float beta = 0.3f;

	for (int i = 0; i < max_steps; i++)

	{

		if (r < eps) {

			return true;

		}

		if (t + r > max_dist) {

			break;

		}

		glm::vec3 next_p = p + ray_dir * z * relaxation_factor;

		float R = sdf(next_p);

		bool doBackStep = z > abs(R) + r;

		if (!doBackStep) {

			float M = (R - r) / (z + 1e-5f);

			m = (1.0f - beta) * m + beta * M;

			t += z * relaxation_factor;

			p = next_p;

			r = R;

		}

		else {

			m = -1.0f;

		}

		float omega = glm::max(1.0f, 2.0f / (1.0f - m));

		z = glm::max(eps, r * omega);

	}

	return false;

};

But

讲完了吗？讲完我要开始转了。

上述的所有方法，对 TPMS（Triply Periodic Minimal Surfaces 三周期极小曲面），都起不到多少作用。目前效果最好的办法只能是力大砖飞——marching 步长乘以系数 $\alpha ,\alpha < 1$ ，以非常保守的步长去小心翼翼的找TPMS表面。也是博主目前最头疼的问题，欢迎讨论。