题目描述:

  给定两个大小为 m 和 n 的正序(从小到大)数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

进阶:你能设计一个时间复杂度为 O(log (m+n)) 的算法解决此问题吗?

方法1:

总体思路: 同时遍历 num1 和nums2 ,比较num1和nums2中当前遍历到的两个元素 nums1[i] 和 nums[j] 的大小。若nums1[i] 小则

i 前进一位,j 不动,反之,j 前进一位 ,i 不动,直到遍历到中位数的下标 或者 其中一个数组遍历结束 再继续单独遍历另一个数组,

直到找到中位数。由于 中位数需要根据 元素个数是奇数和偶数两种情况讨论,此种算法实现上细节判断较多,容易出错,最终写出的代码

结构也比较凌乱。且 时间复杂度 O(m + n),空间复杂度O(1) 性能上也不符合题目的要求。

重点关注第二种  O(log (m+n)) 的算法

  1. 1 #include <string>
  2. 2 #include <vector>
  3. 3 #include <cmath>
  4. 4
  5. 5 using namespace std;
  6. 6 class Solution {
  7. 7 public:
  8. 8 //O(m+n)
  9. 9 double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
  10. 10 {
  11. 11 int m = nums1.size();
  12. 12 int n = nums2.size();
  13. 13 bool odd = true;//奇数
  14. 14 if( (m+n) % 2 == 0) odd = false;//偶数
  15. 15 int mid = (m+n)/2;
  16. 16 int k = 0;
  17. 17 int front = 0;
  18. 18 int i = 0,j = 0;
  19. 19 for(;i<m && j<n;)
  20. 20 {
  21. 21 if(k == mid)
  22. 22 {
  23. 23 if(odd)
  24. 24 {
  25. 25 return nums1[i]<nums2[j]?nums1[i]:nums2[j]/1.000000;
  26. 26 }
  27. 27 else
  28. 28 {
  29. 29 int tmp = nums1[i]<nums2[j]?nums1[i]:nums2[j];
  30. 30 return (tmp+front)/2.000000;
  31. 31 }
  32. 32 }
  33. 33 else
  34. 34 {
  35. 35 if(nums1[i]<nums2[j]){
  36. 36 front = nums1[i];
  37. 37 i++;
  38. 38 }
  39. 39 else
  40. 40 {
  41. 41 front = nums2[j];
  42. 42 j++;
  43. 43 }
  44. 44 k++;
  45. 45 }
  46. 46 }
  47. 47 // printf("k = %d mid = %d i = %d j = %d \n",k,mid,i,j);
  48. 48 if(k == 0)
  49. 49 {
  50. 50 if(j == n)
  51. 51 {
  52. 52 return odd?nums1[mid]/1.0:(nums1[mid]+nums1[mid-1])/2.0;
  53. 53 }
  54. 54 else if(i == m){
  55. 55 return odd?nums2[mid]/1.0:(nums2[mid]+nums2[mid-1])/2.0;
  56. 56 }
  57. 57 else{
  58. 58 return 0.000000;
  59. 59 }
  60. 60 }
  61. 61 if(odd)
  62. 62 {
  63. 63 int index ;
  64. 64 if(j == n ) //j 已经走完 i 未走完
  65. 65 {
  66. 66 index = i + (mid+1 - k)-1 ;
  67. 67 return index < m?nums1[index]/1.000000:0.000000;
  68. 68 // return nums1[index];
  69. 69 }
  70. 70 else
  71. 71 {
  72. 72 index = j + (mid+1 - k)-1;
  73. 73 return index < n?nums2[index]/1.000000:0.000000;
  74. 74 // return nums2[index];
  75. 75 }
  76. 76 }
  77. 77 else
  78. 78 {
  79. 79 if(j == n)
  80. 80 {
  81. 81 int idx = i + (mid+1 - k) -1;
  82. 82 if(idx <= 0 )
  83. 83 {
  84. 84 return (nums2[n-1] + nums1[0])/2.000000;
  85. 85 }
  86. 86 else
  87. 87 {
  88. 88 int frt = max(nums1[idx-1],nums2[n-1]);
  89. 89 return (nums1[idx] + frt)/2.000000;
  90. 90 }
  91. 91 }
  92. 92 else
  93. 93 {
  94. 94 int idx = j + (mid+1 - k) -1;
  95. 95 if(idx <= 0 )
  96. 96 {
  97. 97 return (nums1[m-1] + nums2[0])/2.000000;
  98. 98 }
  99. 99 else
  100. 100 {
  101. 101 int frt = max(nums2[idx-1],nums1[m-1]);
  102. 102 return (nums2[idx] + frt)/2.000000;
  103. 103 }
  104. 104 }
  105. 105 }
  106. 106 }
  107. 107 };

方法2:转化为求第 k 小数的元素

分析:上面的解法中 同时遍历两个数组中的元素并比较大小,对小的元素,在该数组中前进,并统计前进的步数,前进到 (n + m)/2 步,就遍历到

中位数。每次前进相当于去掉不可能是中位数的一个值,也就是一个个排除。由于数列是有序的,其实我们完全可以一半儿一半儿的排除。

具体思路可参考:https://leetcode.wang/leetCode-4-Median-of-Two-Sorted-Arrays.html

代码如下:

  1. 1 class Solution {
  2. 2 public:
  3. 3 double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
  4. 4 {
  5. 5 int n = nums1.size();
  6. 6 int m = nums2.size();
  7. 7 int left = (n + m +1)/2;
  8. 8 int right = (n + m +2)/2;
  9. 9 //将n+m是奇数和偶数的情况合并,如果是奇数,会求两次两同的k,最终返回两个正序数组的一个中位数
  10. 10 //如果是偶数,最终返回两个正序数组的中间两个中位数的平均值
  11. 11 return (getKth(nums1,0,n-1,nums2,0,m-1,left)+getKth(nums1,0,n-1,nums2,0,m-1,right))*0.5;
  12. 12 }
  13. 13 /*
  14. 14 使用二分法
  15. 15 求 nums1[start1,end1]和 nums2[start2:end2]的第k小元素
  16. 16 */
  17. 17 double getKth(vector<int>& nums1, int start1,int end1,vector<int>& nums2,int start2,int end2,int k)
  18. 18 {
  19. 19 int len1 = end1 - start1 +1;
  20. 20 int len2 = end2 - start2 +1;
  21. 21 //始终将元素少的那个数组作为第一个参数,这样就能保证如果有数组空了,一定是第一个参数的数组
  22. 22 if(len1 > len2){
  23. 23 return getKth(nums2,start2,end2,nums1,start1,end1,k);
  24. 24 }
  25. 25 //递归出口1,nums1[start1,end1]空了,返回nums2[start2,end2]中的 第 k 个元素
  26. 26 if(len1 == 0)
  27. 27 {
  28. 28 return nums2[start2 + k - 1];
  29. 29 }
  30. 30 //递归出口2,返回两个数组的第 start 个元素中较小的一个
  31. 31 if(k == 1)
  32. 32 {
  33. 33 return min(nums1[start1+k-1],nums2[start2+k-1]);
  34. 34 }
  35. 35 //nums1[start1:end1] 中 第 k/2 个元素的下标,如果nums1[start1:end1] 长度小于 k/2,则取nums[start1:end1]最后一个元素下标
  36. 36 int i = start1 + min(k/2,len1) - 1;
  37. 37 //nums2[start2:end2] 中 第 k/2 个元素的下标,nums2[start2:end2] 长度一定不会小于 k/2
  38. 38 int j = start2 + k/2 - 1;
  39. 39 //int j = start2 + min(k/2,len2) - 1;
  40. 40 //递归地求 第 k、k/2、k/4、... 、1 个元素,直到遇到递归出口跳出
  41. 41 if(nums1[i] < nums2[j])
  42. 42 {
  43. 43 return getKth(nums1,i+1,end1,nums2,start2,end2,k - (i - start1 +1));
  44. 44 }
  45. 45 else
  46. 46 {
  47. 47 return getKth(nums1,start1,end1,nums2,j+1,end2,k - (j - start2 +1));
  48. 48 }
  49. 49 }
  50. 50 };

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