[bzoj1019][SHOI2008]汉诺塔 (动态规划)

Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

分析

网上好多题解都说暴力模拟几轮直接推出线性递推的系数直接做快速幂……可惜我太弱了不会证明这个dp方程“一定会形成一个线性递推式”……

我的做法是：设f(t, i)为将t柱上最上面的i个盘子转移到“另一个柱子”需要的操作次数，再维护一个To(t,i)表示此时t柱上的i个盘子最先整体到达的柱子编号。To数组的边界可以在读入时由操作的优先级得出。

转移方程也不难想到：

f[][] = f[][] = f[][] = ;//f数组边界

for(i = ;i < ;++i){//To数组边界

while((a = getchar()) < 'A' || a > 'C');b = getchar();

    if(!known[a-'A']){

        To[a-'A'] = b - 'A';

        known[a-'A'] = ;

    }

}

for(i = ;i <= N;++i){

    for(j = ;j < ;++j){

        tmpf[j] = f[j] +  + f[To[j]];

        if(To[To[j]] == j){

            tmpf[j] += f[j] + ;

            tmpT[j] = To[j];

        }

        else tmpT[j] = To[To[j]];

    }

    for(j = ;j < ;++j)f[j] = tmpf[j], To[j] = tmpT[j];

}

考虑到第二位为 i 时的答案只与第i-1位有关，我们可以把数组缩成一维（这样就只剩三位了好吗……）

1 /**************************************************************
2     Problem: 1019
3     User: AsmDef
4     Language: C++
5     Result: Accepted
6     Time:0 ms
7     Memory:804 kb
8 ****************************************************************/
9
//#include <cctype>
#include <cstdio>
//#include <iostream>
//#include <cmath>
//#include <cstdlib>
//#include <algorithm>
//#include <ctime>
//#include <assert.h>
using namespace std;
/*template<typename T>inline void getd(T &x){
     char c = getchar(); bool minus = 0;
     while(!isdigit(c) && c != '-')c = getchar();
     if(c == '-')minus = 1, c = getchar();
     x = c - '0';
     while(isdigit(c = getchar()))x = x * 10 + c - '0';
     if(minus)x = -x;
}*/
/*========================================================*/
typedef long long LL;
LL f[];
int To[], N;

int main(){
     #if defined DEBUG
     freopen("test", "r", stdin);
     //freopen("out.txt", "w", stdout);
     #else
     #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("boxes.in", "r", stdin);
     freopen("boxes.out", "w", stdout);
     #endif
     #endif
     scanf("%d", &N);
     if(N == ){printf("1\n");return ;}
     char a, b;
     int i, j, tmpT[];
     bool known[] = {};
     f[] = f[] = f[] = ;
     for(i = ;i < ;++i){
         while((a = getchar()) < 'A' || a > 'C');b = getchar();
         if(!known[a-'A']){
             To[a-'A'] = b - 'A';
             known[a-'A'] = ;
         }
     }
     LL tmpf[];
     for(i = ;i <= N;++i){
         for(j = ;j < ;++j){
             tmpf[j] = f[j] +  + f[To[j]];
             if(To[To[j]] == j){
                 tmpf[j] += f[j] + ;
                 tmpT[j] = To[j];
             }
             else tmpT[j] = To[To[j]];
         }
         for(j = ;j < ;++j)f[j] = tmpf[j], To[j] = tmpT[j];
     }
     printf("%lld\n", f[]);

     #ifdef DEBUG
     //cout << endl << (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC << endl;
     #endif
     return ;
}

动态规划