luoguP3232 [HNOI2013]游走 贪心 + 概率期望 + 高斯消元

首先，题目中的无向简单连通图代表着没有自环，重边...

总分的期望 = 每条边的期望之和...................每条边的期望又可以拆成$u \to v$的期望和$v \to u$的期望

记$f[i]$表示$1 \to n$的路径中，$i$的期望经过次数

而$u \to v$的期望只要知道$f[u], f[v]$就可以求出

注意到，$f[i]$为每个时刻点在$i$的概率之和，即$\sum\limits_{t =0}^{\infty} p^i_t$

那么，我们有$f[i] = \sum\limits_{t = 0}^{\infty} p^i_t = p^i_0 + \sum\limits_{(i, v)} \frac{1}{du[v]} * \sum\limits_{t = 1}^{\infty} p^v_t = p^i_0 + \sum\limits_{(i, v)} \frac{1}{du[v]} * f[v]$

对于$f[1]$，有$p^1_0 = 1$

对于其他点，有$p^i_0 = 0$

列方程即可解决

注意$n$号节点，一旦到了$n$号节点，游走结束

因此，尽管$f[n]$在实际中为$1$，但是在方程中为了保证$n$号点不转移，令$f[n] = 0$

计算边的期望时，$f[n]$同样不参与计算

最后，求出了每条边的期望经过次数，希望总分期望尽量小

当然是经过次数多的边给小编号了，贪心即可!

复杂度$O(n^3)$

注：$500^2 = 250000$，不知道什么时候才会记住

注2：少用$luogu\;ide$调试，莫名少头文件...

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

extern inline char gc() {
    static char RR[], *S = RR + , *T = RR + ;
    if(S == T) fread(RR, , , stdin), S = RR;
    return *S ++;
}
inline int read() {
    int p = , w = ; char c = gc();
    while(c > '' || c < '') { if(c == '-') w = -; c = gc(); }
    while(c >= '' && c <= '') p = p *  + c - '', c = gc();
    return p * w;
}

#define de double
#define ri register int
#define sid 505
#define eid 600005

int n, m, cnp, du[sid];
de ex[eid], f[sid][sid], g[sid];
int cap[sid], nxt[eid], node[eid];

inline void adeg(int u, int v) {
    du[u] ++;
    nxt[++ cnp] = cap[u]; cap[u] = cnp; node[cnp] = v;
}

void Guass() {
    for(ri i = ; i <= n; i ++) {
        int p = i;
        for(ri j = i; j <= n; j ++) if(fabs(f[j][i]) > fabs(f[p][i])) p = j;
        swap(f[i], f[p]);
        for(ri j = i + ; j <= n; j ++) {
            de t = f[j][i] / f[i][i];
            for(ri k = i; k <= n + ; k ++)
            f[j][k] -= t * f[i][k];
        }
    }
    for(ri i = n; i >= ; i --) {
        f[i][n + ] = f[i][n + ] / f[i][i];
        for(ri j = i - ; j >= ; j --)
        f[j][n + ] -= f[i][n + ] * f[j][i];
    }
    for(ri i = ; i <= n; i ++) g[i] = f[i][n + ];
}

int main() {
    n = read(); m = read();
    for(ri i = ; i <= m; i ++) {
        int u = read(), v = read();
        adeg(u, v); adeg(v, u);
    }
    #define cur node[j]
    f[][n + ] = ; f[n][n] = ;
    for(ri i = ; i < n; i ++) {
        f[i][i] = ;
        for(ri j = cap[i]; j; j = nxt[j])
        f[i][cur] -= 1.0 / (de)(du[cur]);
    }
    Guass();
    int bnp = ;
    for(ri i = ; i <= n; i ++)
    for(ri j = cap[i]; j; j = nxt[j])
    ex[++ bnp] = g[i] / (de)du[i] + g[cur] / (de)du[cur];
    sort(ex + , ex + bnp + );
    de ans = ;
    for(ri i = , j = ; i <= bnp; i += , j ++)
    ans += ex[i] * (m - j + );
    printf("%.3lf\n", ans);
    return ;
}