（LeetCode 53）Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

题目：

最大子数组和

思路：

1、暴力枚举

起点：i=0,...,n-1;终点：j=i,....,n-1；依次求[i,j]区间的和，时间复杂度O(n^3)

2、优化枚举

起点：i=0,...,n-1;终点：j=i,....,n-1；累计求[i,j]区间的和，时间复杂度O(n^2)

3、分治算法

分：两个等长的子数组，分别求解，复杂度O(nlogn)

合：求包含中间点的最大子数组之和，复杂度O(n)

时间复杂度：O(nlogn)

4、动态规划

假设dp[i]表示以a[i]结尾的最大子数组和，那么

状态转移方程：

dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])

• 包含a[0,i-1]:dp[i-1]+a[i]
• 不包含a[0,i-1]:a[i]

初始值：

dp[0]=a[0]

复杂度：

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)

空间优化：

dp[i]只与dp[i-1]有关，因此状态转移方程优化为：

best=max(best+a[i],a[i])

其实这里的动态规划实现的是一种简单的逻辑，即前面的数组和大于0，则加上，小于或等于0，则放弃。

if(cur>0)
　　cur+=A[i];
else
　　cur=A[i];

5、前缀数组和

定义：sum[i]=a[0]+a[1]+...+a[i]

sum(A[i....j])=sum[j]-sum[i-1]

对于数组A，以A[i]结尾的最大子数组和为sum[i]-min(sum(k)),k=0...i-1，因此需保存每一步计算中的最小sum值。

依次计算以A[i]结尾的最大子数组和，然后保留其最大值即可，详见代码。

代码：

只实现分治、动态规划以及前缀和三种思路

1、分治

class Solution {
public:
    int maxSubArray(int A[], int n) {
      if(n==1)
        return A[0];

      int mid=n/2;
      int left=maxSubArray(A,mid);
      int right=maxSubArray(A+mid,n-mid);
      int ans=max(left,right);

      int cur=A[mid-1];
      int tmp=cur;
      for(int i=mid-2;i>=0;i--){
        cur+=A[i];
        if(cur>tmp)
            tmp=cur;
      }
      cur=tmp;
      for(int i=mid;i<n;i++){
         cur+=A[i];
         if(cur>tmp)
            tmp=cur;
      } 

      return max(ans,tmp);

    }
};

2、动态规划

class Solution {
public:
    int maxSubArray(int A[], int n) {
        int cur=A[0];
        int max=A[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            if(cur>0)
                cur+=A[i];
            else
                cur=A[i];
            if(cur>max)
                max=cur;
        }
        return max;
    }
};

class Solution {
public:
    int maxSubArray(int A[], int n) {
        int endhere=A[0];
        int ans=A[0];

        for(int i=1;i<n;i++){
            endhere=max(endhere+A[i],A[i]);
            ans=max(ans,endhere);
        }

        return ans;
    }
};

3、前缀数组和

class Solution {
public:
    int maxSubArray(int A[], int n) {
      int sum=A[0];
      int minSum=min(0,sum);
      int ans=A[0];

      for(int i=1;i<n;i++){
          sum+=A[i];
          ans=max(ans,sum-minSum);
          minSum=min(minSum,sum);
      }

      return ans;
    }
};