《Interest Rate Risk Modeling》阅读笔记——第九章：关键利率久期和 VaR 分析

目录

• 第九章：关键利率久期和 VaR 分析
  • 思维导图
  • 一些想法
  • 有关现金流映射技术的推导

第九章：关键利率久期和 VaR 分析

思维导图

一些想法

• 在解关键方程的时候施加 \(L^1\) 约束也许可以得到“稀疏解”，进而减少交易成本。
• 借鉴样条插值拟合期限结构时选择 knot 的方法选择关键期限。

有关现金流映射技术的推导

已知，

\[
\Delta y(t) =
\begin{cases}
\Delta y(t_{first}) & t \le t_{first}\\
\Delta y(t_{last}) & t \ge t_{last}\\
\alpha \Delta y(t_{left}) + (1-\alpha) \Delta y(t_{right})& \text{ else}
\end{cases}
\]

\[
\alpha = \frac{t_{right}-t}{t_{right} - t_{left}}
\]

\[
t_{left} < t < t_{right}
\]

求解 \(CF_{left}\)、\(CF_{right}\) 和 \(CF_0\) 使得：

\[
\begin{aligned}
P &= \frac{CF_t}{e^{y(t)t}} \\
&= \frac{CF_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}} + \frac{CF_{right}}{e^{y(t_{right})t_{right}}} + CF_0
\end{aligned} \tag{1}
\]

要求关键利率久期不变，那么：

\[
\begin{aligned}
\frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t_{left})}
&=\frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t)} \frac{\partial y(t)}{\partial y(t_{left})}\\
&\approx\frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t)} \frac{\Delta y(t)}{\Delta y(t_{left})}\\
&\approx-\frac{1}{P} \frac{CF_t\times t}{e^{y(t)t}} \alpha\\
&=-t\alpha \\
\frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y(t_{left})}
&=\frac{1}{P} \frac{\partial \left(\frac{CF_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}} + \frac{CF_{right}}{e^{y(t_{right})t_{right}}} + CF_0 \right) }{\partial y(t_{left})}\\
&=-\frac{1}{P} \frac{CF_{left}\times t_{left}}{e^{y(t_{left})t_{left}}}
\end{aligned}
\]

解出

\[
CF_{left} = \frac{t \alpha P e^{y(t_{left})t_{left}}}{t_{left}} \tag{2}
\]

同理解出

\[
CF_{right} = \frac{t (1-\alpha) P e^{y(t_{right})t_{right}}}{t_{right}} \tag{3}
\]

（2）和（3）代入（1）解出

\[
CF_0 = P \times \frac{(t-t_{left})(t-t_{right})}{t_{left} \times t_{right}}
\]