【HIHOCODER 1038】 01背包

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问题描述

且说上一周的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！

小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换，同时也只能兑换一次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。

提示一：合理抽象问题、定义状态是动态规划最关键的一步

提示二：说过了减少时间消耗，我们再来看看如何减少空间消耗

输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的个数，以及小Ho手中的奖券数。

接下来的n行描述每一行描述一个奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。

测试数据保证

对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5

对于100%的数据，need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3

输出

对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。

样例输入

5 1000

144 990

487 436

210 673

567 58

1056 897

样例输出

2099

题解

01背包

\(dp[i][j]\)代表考虑到第i个物品，最佳择方案得到的收益。转移方程为

\[dp[i][j]=max(dp[i-1][j]，dp[i-1][j-need[i])+value[i]
\]

由于这个方程转移只与上一层状态有关，可以简化为：

\[for(i=m;i>=nedd[i];i--)$$ //必须倒着做，防止这一层的结果相互影响，即这一层只能由上一层得来
$$dp[j]=max(dp[j]，dp[j-need[i]]+value[i])\]

参考代码

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
	static final int N=(int)1e5+10;
	static int dp[]=new int[N],
		a[][]=new int[N][2];
	public static void main(String[] args){
		Scanner sc=new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
		int n=sc.nextInt(),m=sc.nextInt();
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=0;j<2;j++) {
				a[i][j]=sc.nextInt();
			}
		}
		for(int i=0;i<=m;i++) dp[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=m;j>=a[i][0];j--) {
				dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-a[i][0]]+a[i][1]);
			}
		}
		int ans=0;
		for(int i=0;i<=m;i++) ans=Math.max(dp[i],ans);
		System.out.println(ans);
		sc.close();
	}
}

二维版

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    static final int N=(int)1e5+10;
    static int dp[][]=new int[505][N],
        a[][]=new int[N][2];
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
        int n=sc.nextInt(),m=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=0;j<2;j++) {
                a[i][j]=sc.nextInt();
            }
        }
        for(int i=0;i<=m;i++) dp[0][i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
        	for(int j=0;j<=m;j++) {
                dp[i][j]=dp[i-1][j];          //防止出现断层
            }
        	for(int j=a[i][0];j<=m;j++) {
                dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-a[i][0]]+a[i][1]);
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=0;i<=m;i++) ans=Math.max(ans, dp[n][i]);
        System.out.println(ans);
        sc.close();
    }
}