(手机的颜色,大小,用户体验来加权统计总体的值)极大似然估计MLE

1.Logistic回归

Logistic regression (逻辑回归),是一种分类方法,用于二分类问题(即输出只有两种)。如用于广告预测,也就是根据某广告被用户点击的可能性,把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方,结果是用户要么点击要么不点击。

通常两类使用类别标号0和1表示,0表示不发生,1表示发生。

问题引入

例如:有100个手机,其中有30个是你喜欢的,70个是不喜欢的。现预测你对第101个手机的喜好。这是一个两类问题,喜欢与不喜欢。

显然这是一个二分类问题,我们对第101个手机进行预测分类,分为喜欢和不喜欢两个类别。

我们需要对手机取特征(属性),比如价格,外观,用户体验。简单处理,只考虑3个方面(即3个特征)。综合考虑这些因素,并且把这些值进行数字化的表示。数字越大说明越喜欢,越小越不喜欢。

怎么数字化表示这些量呢?

对每部手机对应价格,外观,用户体验都可以给出一个具体的数值。

我们回忆一下贝叶斯分类:

2. Sigmoid 函数

 

3.Sigmoid函数性质

分类性质

回顾我们的后验概率如何分类的,每个可以观测的样本都有属于某类的概率。分类时候选取后验概率大的值进行分类。这里是两分类问题每个样本均可带入P(y=1|x)和P(y=0|x)谁的概率值大,我们就将样本归入某类。

现在分类模型为下边公式,但含有未知量 ,只要求出 就可以对样本,就可以带入样本就行计算,对样本进行分类。

如何求未知参数 ?我们有m个样本,思路是建立一个目标函数,求目标函数极值。极值处的 值,就是我们最优未知参数值。

参数估计

假设分类的概率

上面的概率可以写到一起 (类似二项分布)

m个样本的似然函数为

对数似然函数

使得似然函数值最大?梯度下降(上升)法。

似然函数求导

常规方法时效。故用梯度下降法

Logistic回归中是未知参数 ,目标是求出 。通过构建似然函数,目标使似然函数最大。

回顾我们梯度下降法。

  (J是上边的L函数,手误)问题解决

4.梯度上升法

目标使似然函数最大,我们可以使用梯度上升法进行迭代。

梯度下降法根据样本使用的不同,一次使用所有样本更新参数为批处理梯度下降法。一次只随机使用一个样本来更新参数随机梯度下降法。

同样我们的Logistic回归可以使用批处理梯度上升法和随机梯度上升法。梯度上升法和梯度下降法都是寻找函数的极值,只是搜索方向的不同而已。根据具体函数的性质,进行选择,两者没有本质的不同。

我们容易通过把函数转换成,把极大化问题转换成极小化问题。函数加负号即可。

5.批处理梯度下降法

6.随机梯度下降法

7.代码实现

准备数据,样例数据如下,前两列分别为x1和x2值,第3列为数据的类别,这样的数据有100条。

批处理梯度下降(上升)算法计算最佳回归系数

矩阵为什么要转置?

运行测试

if __name__ == "__main__":

dataMat,classLabels=loadDataSet()

weights=gradAscent(dataMat, classLabels)

plotBestFit(weights.getA())

8.随机梯度下降(上升)法SGD (stochastic gradient descent)

运行测试

if __name__ == "__main__":

dataAttr, labelMat = loadDataSet()

weights = stocGradAscent0(array(dataAttr), labelMat)

plotBestFit(weights)

9.改进的随机梯度下降

运行测试

if __name__ == "__main__":

dataAttr, labelMat = loadDataSet()

weights = stocGradAscent1(array(dataAttr), labelMat)

plotBestFit(weights)

运行结果对比

比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降,可以看到两点不同:

1)系数不再出现周期性波动。

2)系数可以很快的稳定下来,也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。

(a)梯度下降算法迭代500次。

(b)随机梯度下降算法迭代200次。

(c)改进的随机梯度下降算法迭代20次。

(d)改进的随机梯度下降算法迭代200次。

10.示例:从疝气病症预测病马是否存活

一、处理数据中的缺失值

二、用Logistic回归进行分类

运行测试

if __name__ == "__main__":

multiTest()

11.总结

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