Miller-Rabin 素数检验算法

算法简介

Miller-Rabin算法，这是一个很高效的判断质数的方法，可以在用\(O(logn)\) 的复杂度快速判断一个数是否是质数。它运用了费马小定理和二次探测定理这两个筛质数效率极高的方法。

费马小定理判质数

\(a^{p - 1}\ ≡\ 1\ mod\ p\)

这个定理在 \(p\) 为质数的时候是成立的，所以我们可以如果要判断 \(p\) 是否是质数，可以 \(rand\) 几个 \(a\) 值然后照着这个式子来算，如果算出来不是 \(1\) 那说明 \(p\) 一定不是质数。

但在我们的自然数中，如果照着这个式子算出来的答案为1，也是有可能不是质数的。更有一类合数，它用费马小定理不管 rand 什么数都判不掉。这类合数称为 Carmichael数（卡迈克尔数），其中一个例子就是561（哇，居然这么小）。

二次探测定理

因为Carmichael数的存在，使得我们难以高效判断质数，所以我们还需要加入第二种判断方法使这种伪算法更优秀！而二次探测无疑就是为我们量身定制的算法，因为它要建立在同余式右边为1的基础上（而我们的费马小定理不正好满足了要求吗？）

若 \(b^2≡1\ mod\ p\) 且 \(p\) 为质数 \(=>\) 则 \(p\) 一定可以被 \(b−1\) 和 \(b+1\) 其中一个整除

这是二次探测定理，原理很简单，我们将上面的同余式左右都减1，根据平方差公式可以得出 \((b−1)(b+1)≡\ 0\ mod\ p\) 这其实就代表着等式左边是模数的倍数，但若模数p是质数，则 \((b−1)\) 和 \((b+1)\) 必定存在一个是 \(p\) 的倍数，所以要么 \(b−1=p\ (b=1)\) 或者 \(b+1=p\ (b=p−1)\) 如果不满足则 \(p\) 一定不是质数！然后我们还可以发现若 \(b=1\) 我们又可以进行新一轮二次探测！

根据这个道理，我们可以进行二次探测：因为 \(a^{p−1}≡1\mod\ p\) 如果 \(p−1\) 为偶数的话就可以化成： \(a^{(\frac{p−1}2)^2}≡1\ mod\ p\) 这样就变成了二次探测的基本式。

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lb;
inline ll ksc(ull x, ull y, ll p) {  // O(1)快速乘（防爆long long）
    return (x * y - (ull)((lb)x / p * y) * p + p) % p;
}

inline ll ksm(ll x, ll y, ll p) {  //快速幂
    ll res = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) res = ksc(res, x, p);
        x = ksc(x, x, p);
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

inline bool mr(ll x, ll p) {
    if (ksm(x, p - 1, p) != 1) return 0;  //费马小定理
    ll y = p - 1, z;
    while (!(y & 1)) {  //一定要是能化成平方的形式
        y >>= 1;
        z = ksm(x, y, p);                    //计算
        if (z != 1 && z != p - 1) return 0;  //不是质数
        if (z == p - 1) return 1;  //一定要为1，才能继续二次探测
    }
    return 1;
}

inline bool prime(ll x) {
    if (x < 2) return 0;
    if (x == 2 || x == 3 || x == 5 || x == 7 || x == 43) return 1;
    return mr(2, x) && mr(3, x) && mr(5, x) && mr(7, x) && mr(43, x);
}

这样子加上二次探测之后，明显就能高效很多，基本上卡不了，大概要每 \(10^{10}\) 个数才会出现一个判不掉的，这个概率可以说十分微小，可以忽略！