递归算法（三）——多项分布问题

问题

一个枪手打靶，靶从外向内有1-10分（考虑脱靶得0分），打十枪，求枪手最后得90分的概率。

解决思路

一、穷举

考虑10重for循环，累计十次得分和为90者，求得概率。该法通用性差，效率低，但容易想到。

二、映射

穷举共11¹⁰种可能，即(1e10)₁₁。则考虑10进制数N，将其遍历，从0到11¹⁰-1，映射到11进制，解出每种可能下10次的得分，累计为90则计入。

注意：11¹⁰超出了int的范围，要考虑BigInteger。或者以字符串来计算大整数。

三、递归

从动态规划角度思考。

f(goal,left)表示，剩下还有left次机会，要打满goal分，返回可能种数。

显而易见，f(goal,left) = Sum｛ f(goal',left-1) ｝，其中goal-10<=goal'<=goal，这就是递归关系。

递归的出口为，left==1，即最后一次机会，必须打满goal分，故出口为return 0<=goal<=10。

有优化的可能吗？有，考虑：只有n次机会，但剩余n*10+1次是不可能的，超出上界。

故代码为：

int shot1(int count, int start, int end, int goal, int left) {
    if ((goal > left * end) || (goal < left * start))
        return 0;
    if (left == 1)
        return (goal >= start && goal <= end) ? 1 : 0;
    int acc = 0;
    for (int i = start; i <= end; i++)
        acc += shot1(count, start, end, goal - i, left - 1);
    return acc;
}

调用：

shot1(10, 0, 10, 90, 10);