拉格朗日乘子法&KKT条件
朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件是求解约束优化问题的重要方法,在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。前提是:只有当目标函数为凸函数时,使用这两种方法才保证求得的是最优解。
1. 拉格朗日乘子法:
这个问题转换为
其中,称为拉格朗日乘子。
wikipedia上对拉格朗日乘子法的合理性解释:
现有一个二维的优化问题:
我们可以画图来辅助思考。
绿线标出的是约束的点的轨迹。蓝线是
的等高线。箭头表示斜率,和等高线的法线平行。从图上可以直观地看到在最优解处,f和g的法线方向刚好相反(或者说叫梯度共线),即
而满足(3)的点同时又是(4)的解。
所以(2)和(4)等价。
新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等,因为F(x,y)达到极值时g(x,y)−c总等于零。
2.KKT条件
其中
上面的推导到此中断一下,我们看另外一个式子:
这里的和
都就向量,所以去掉了下标k。另外一些博友不明白上式中
是怎么推出来的,其实很简单,因为f(x)与变量
无关,所以这个等式就是成立的。
又
联合(7),(8)我们得到
增广朗日乘子法(Augumented Lagrange Multiplier)是对二次惩罚法(Quadratic Penalty Method)的一种改进,二次惩罚法要求二次惩罚项的系数趋近于无穷(对约束的偏离给予很高的惩罚)。
来源:https://www.zhihu.com/question/23424344/answer/39935081
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