题目

神炎皇乌利亚很喜欢数对,他想找到神奇的数对。

对于一个整数对(a,b),若满足a+b<=n且a+b是ab的因子,则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢?

分析

设\(gcd(a,b)=d,a'd=a,b'd=b\)

那么\(a'+b'|a'b'd\)

因为\(gcd(a',b')=1\)

所以\(a'+b'|d\)。

又因为\((a'+b')d<=n\)

则\(a'+b'=\sqrt n\)

枚举\(a'+b'=i\)

\(d就有\dfrac{n}{i^2}种情况\)

因为\(gcd(a',b')=gcd(a'+b',a')\)

所以\(a'和b'又有\varphi(i)种\)

线筛求\(\varphi()\),时间复杂度\(O(\sqrt n)\)

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=1000000007;
const int N=10000005;
using namespace std;
long long ans;
long long n,qn,r,phi[N],p[N];
bool bz[N];
long long gcd(long long x,long long y)
{
for(;y;)
{
r=x%y;
x=y;
y=r;
}
return x;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
qn=sqrt(n);
phi[1]=1;
memset(bz,true,sizeof(bz));
for(long long i=2;i<=qn;i++)
{
if(bz[i])
{
bz[i]=false;
p[++p[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(long long j=1;j<=p[0] && i*p[j]<=qn;j++)
{
bz[i*p[j]]=false;
if(i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
else
{
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
}
ans+=(long long)phi[i]*(long long)(n/i/i);
}
printf("%lld",ans);
}

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