[NOIp2012] 国王游戏(排序 + 贪心 + 高精度)
题意
给你两个长为 \(n+1\) 的数组 \(a,b\) ,你需要定义一个顺序 \(p\) (\(p_0\) 永远为 \(0\))
能够最小化
\]
\(1 \le n \le 1000, 1 \le a, b \le 10^4\)
题解
开始把原来没做完的 \(NOIp\) 题都水掉qwq
类似这种题都需要有个巧妙的排序方法,使得答案最小,其实可以大力找规律或者猜结论发现按 \(a_i \times b_i\) 排序是最优秀的。
我们尝试推导这个结论。
其实我们发现只需要考虑相邻两个数如何交换才是最优的,因为任意排列都可以由交换相邻两个数得到。
假设当前两个位置为 \(i, i+1\) ,记 \(\displaystyle p = \prod_{j = 0}^{i - 1}a_j\) 。
我们令 \(ans_0\) 为交换前的最大值,\(ans_1\) 为交换后的,那么有
ans_0 &= \max\{\frac{p}{b_i}, \frac{p \times a_i}{b_{i+1}}\} \\
ans_1 &= \max\{\frac{p}{b_{i+1}}, \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}}\}
\end{cases}
\]
因为有
\]
不难发现有
\displaystyle \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \ge \frac{p}{b_{i+1}} \\
\displaystyle \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} \ge \frac{p}{b_i}
\end{cases}
\]
所以当 \(ans_1 \ge ans_0\) 也就是交换后不会更优,当且仅当
\frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} &\ge \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \\
a_{i + 1} \times b_{i + 1} &\ge a_i \times b_i
\end{aligned}
\]
所以我们不难发现当 \(a_i \times b_i\) 升序的时候是最优的。
然后答案需要用高精度存储,但是我不想写。。。(用 \(python\) 水过了2333)
考试时候应该还是会头铁写高精度的。。
总结
对于重排序列使得一些要求的东西最优的时候,可以考虑不等式推导。
然后也不需要考虑相隔很远的两个数,可以考虑相邻两个数,结论也是一样的,因为交换相邻两个数也可以使得序列排序。
代码
教你 \(17\) 行 \(python3\) 代码水过2333
n = (int)(input())
a, b = map(int, input().split())
array = [[0] * 2] * n
for i in range(0, n):
array[i] = list(map(int, input().split()))
def Cmp(elem):
return elem[0] * elem[1]
array.sort(key = Cmp)
ans = 0
tot = a
for i in range(0, n):
ans = max(ans, tot // array[i][1])
tot = tot * array[i][0]
print(ans)
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