MT【280】最小值函数

已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\min\{a,b,c\}\le\dfrac{a+b+c}{4}$

证明:$\min\{a,b,c\}=\dfrac{a+c-|a-c|+2b-|a+c-|a-c|-2b|}{4}\le\dfrac{a+b+c}{4}$
等价于$|a-c|+|a+c-|a-c|-2b|\ge b$
等价于$\max\{|2a-2b-|a-c|,|2b+|a-c|-2c|\}\ge b$
$\because \max\{|2a-2b-|a-c|,|2b+|a-c|-2c|\}\ge|2b+|a-c|-(a+c)|=|b+b-(a+c-|a-c|)|\ge b$
最后一步是由于
$b^2\ge 4ac=(a+c)^2-(a-c)^2\ge(a+c)^2+(a-c)^2-2|a+c||a-c|=(|a-c|-(a+c))^2$
得证.

注:另外证明:$\dfrac{a+b+c}{4}\ge\sqrt[4]{a(\frac{b}{2})^2c}\ge \sqrt[4]{a^2c^2}\ge\min\{a,b,c\}$