BZOJ5291/洛谷P4458/LOJ#2512 [Bjoi2018]链上二次求和 线段树

原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/9031130.html

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题目传送门 - 洛谷P4458

题目传送门 - BZOJ5291

推荐LOJ和洛谷，题面质量好，而且不卡常数。

BZOJ题面烂，而且要卡那么一点点常数。

题意

　　有一条长度为$n$的链$\forall 1≤i<n$，点$i$与点$i+1$之间有一条边的无向图），每个点有一个整数权值，第$i$个点的权值是$a_i$​​。现在有$m$个操作，每个操作如下：

　　操作 1（修改）：给定链上两个节点$u$、$v$和一个整数$d$，表示将链上$u$到$v$唯一的简单路径上每个点权值都加上$d$。

　　操作 2（询问）：给定两个正整数$L$、$R$，表示求链上所有节点个数大于等于$L$且小于等于$R$的简单路径节点权值和之和。由于答案很大，只用输出对质数$1000000007$取模的结果即可。

　　一条节点个数为$k$的简单路径节点权值和为这条上所有$k$个节点（包括端点）的权值之和，而本题中要求是对所有满足要求的简单路径，求这一权值和的和。

　　由于是无向图，路径也是无向的，即点$1$到点$2$的路径与点$2$到点$1$的路径是同一条，不要重复计算。

题解

　　记$S_x[i]=\sum_{j=1}^{i} x[j]$，则我们现在来推一下式子。

　　对于询问，我们要求的是：

$$\begin{align*}\sum_{i=L}^{R}\sum_{j=i}^{n}S_a[j]-S_a[j-i]&=\sum_{i=L}^{R}(\sum_{j=i}^{n}S_a[j]-\sum_{j=0}^{n-i}S_a[j])\\&=\sum_{i=L}^{R}(S_{S_a}[n]-S_{S_a}[i-1]-S_{S_a}[n-i])\\&=(R-L+1)S_{S_a}[n]-\sum_{i=L-1}^{R-1}S_{S_a}[i]-\sum_{n-R}^{n-L}S_{S_a}[i]\end{align*}$$

　　只需要维护$S_{S_a}$的前缀和就可以了。

　　考虑分类讨论区间加对$S_{S_a}$的贡献。

　　在$L$~$R$区间加$v$的贡献为：

　　记$len=R-L+1$，

　　对于$L\leq i\leq R$，$S_{S_a}[i]=S_{S_a}[i]+\cfrac{(i-L+1)(i-L+2)}{2}v$。

　　对于$i>R$，$S_{S_a}[i]=S_{S_a}[i]+\cfrac{len(len+1)}{2}v+len(i-R)v$。

　　注意一下，对于修改，$L$和$R$可能是$L>R$的，我这里默认了$L\leq R$。

　　于是这个区间加对于$S_{S_a}$的贡献可以转化成一个关于$i$的二次函数。

　　可以用线段树来维护。

　　在BZOJ上面，略微卡一点常数。建议在标记下传的时候，如果三个标记都为$0$就直接退出。

题解参考了：https://blog.csdn.net/cdsszjj/article/details/80286084

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200005;
const LL mod=1e9+7;
int n,m,a[N];
LL cv1[N],cv2[N];
struct Seg{
	LL v,v0,v1,v2;
	LL s0,s1,s2;
}t[N<<2];
void build(int rt,int L,int R){
	t[rt].v0=t[rt].v1=t[rt].v2=0;
	t[rt].s0=R-L+1;
	if (L>0){
		t[rt].s1=(cv1[R]-cv1[L-1]+mod)%mod;
		t[rt].s2=(cv2[R]-cv2[L-1]+mod)%mod;
	}
	else
		t[rt].s1=cv1[R],t[rt].s2=cv2[R];
	if (L==R){
		t[rt].v=a[L];
		return;
	}
	int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
	build(ls,L,mid);
	build(rs,mid+1,R);
	t[rt].v=(t[ls].v+t[rs].v)%mod;
}
void addrt(int rt,LL d0,LL d1,LL d2){
	t[rt].v=(t[rt].v+d0*t[rt].s0+d1*t[rt].s1+d2*t[rt].s2)%mod;
	t[rt].v0=t[rt].v0+d0;
	t[rt].v1=t[rt].v1+d1;
	t[rt].v2=t[rt].v2+d2;
	if (t[rt].v0>=mod)t[rt].v0-=mod;
	if (t[rt].v1>=mod)t[rt].v1-=mod;
	if (t[rt].v2>=mod)t[rt].v2-=mod;
}
void pushdown(int rt){
	if (!t[rt].v0&&!t[rt].v1&&!t[rt].v2)
		return;
	int ls=rt<<1,rs=ls|1;
	addrt(ls,t[rt].v0,t[rt].v1,t[rt].v2);
	addrt(rs,t[rt].v0,t[rt].v1,t[rt].v2);
	t[rt].v0=t[rt].v1=t[rt].v2=0;
}
void update(int rt,int L,int R,int xL,int xR,LL d0,LL d1,LL d2){
	if (xL>xR)
		return;
	if (xL<=L&&R<=xR){
		addrt(rt,d0,d1,d2);
		return;
	}
	int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
	pushdown(rt);
	if (xR<=mid)
		update(ls,L,mid,xL,xR,d0,d1,d2);
	else if (xL>mid)
		update(rs,mid+1,R,xL,xR,d0,d1,d2);
	else {
		update(ls,L,mid,xL,mid,d0,d1,d2);
		update(rs,mid+1,R,mid+1,xR,d0,d1,d2);
	}
	t[rt].v=(t[ls].v+t[rs].v)%mod;
}
LL query(int rt,int L,int R,int xL,int xR){
	if (xL>xR)
		return 0;
	if (xL<=L&&R<=xR)
		return t[rt].v;
	int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
	pushdown(rt);
	if (xR<=mid)
		return query(ls,L,mid,xL,xR);
	else if (xL>mid)
		return query(rs,mid+1,R,xL,xR);
	else
		return (query(ls,L,mid,xL,xR)+query(rs,mid+1,R,xL,xR))%mod;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		cv1[i]=(cv1[i-1]+i)%mod;
		cv2[i]=(cv2[i-1]+1LL*i*i)%mod;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]),a[i]=(a[i]+a[i-1])%mod;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=(a[i]+a[i-1])%mod;
	build(1,1,n);
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int opt,L,R;
		LL v;
		scanf("%d%d%d",&opt,&L,&R);
		if (L>R)
			swap(L,R);
		if (opt==2){
			L=max(L,1);
			LL s1=query(1,1,n,n,n)*(R-L+1)%mod;
			LL s2=query(1,1,n,max(L-1,1),R-1);
			LL s3=query(1,1,n,max(n-R,1),n-L);
			printf("%lld\n",(s1-s2-s3+mod+mod+mod)%mod);
		}
		else {
			scanf("%lld",&v);
			LL len=R-L+1,iv2=500000004,vv=v*iv2%mod;
			update(1,1,n,L,R,vv*(L-1)%mod*(L-2)%mod,vv*(3-2*L+mod)%mod,vv);
			update(1,1,n,R+1,n,((len*(len+1)/2%mod*v-len*v%mod*R)%mod+mod)%mod,v*len%mod,0);
		}
	}
	return 0;
}