[PA2014]Budowa

[PA2014]Budowa

题目大意：

有A和B两名候选人。共有\(n(n\le1000)\)个人参加投票。他们之间形成了一个树结构，树上的结点有两种身份：专家（叶子结点）或领导（非叶子结点）。每位专家都有自己的选择——支持A和B之中的一个；每位领导都有若干个下属（子结点），领导的选择决定于下属中人数较多的那一方，下属的数目保证为奇数，从而不会出现平局状况。最后，根结点的选择即为选举结果。

目前仍有一些专家处于犹豫未决的状态，只要前去游说，就可获得他的支持。每人每天只能选择游说一名专家。A先开始，两人交替进行，直到每位专家都有了确定的选择。请问A是否有策略保证自己赢得选举胜利？

思路：

首先，假设那些犹豫的专家最后两边都不支持，如果此时已经B占优势，那么A永远没有反超的机会了。

否则枚举每个犹豫的专家，令他支持A，剩下两边都不支持，看一下是否能使A胜利，如果能，就说明第一步可以选择这个专家。

枚举复杂度\(\mathcal O(n)\)，计算支持者的复杂度\(\mathcal O(n)\)，总时间复杂度\(\mathcal O(n^2)\)。可以通过此题。

实际上，本题还有一种\(\mathcal O(n\log n)\)的做法。

一开始判断是否有解的算法同上，但是可以\(\mathcal O(n)\)求出可以选择的专家。

对于一个点\(x\)，若子结点中支持A的人数+\(\lceil\frac{\text{犹豫的人数}}2\rceil\ge\)支持B的人数，则说明可以选择该子树内的专家。

由于要排序，所以时间复杂度是\(\mathcal O(n\log n)\)的。

源代码：

\(\mathcal O(n^2)\)：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
inline int getint() {
	register char ch;
	register bool neg=false;
	while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return neg?-x:x;
}
const int N=1001;
int c[N],d[N][2],ans[N];
std::vector<int> e[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
	e[u].push_back(v);
}
void dfs(const int &x,const int &par) {
	//0: xyw, 1: jry
	d[x][0]=d[x][1]=0;
	if(c[x]<0) d[x][c[x]+2]++;
	for(int i=0;i<c[x];i++) {
		const int &y=e[x][i];
		if(y==par) continue;
		dfs(y,x);
		if(d[y][1]==d[y][0]) continue;
		d[x][d[y][1]>d[y][0]]++;
	}
}
int main() {
	const int n=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		c[i]=getint();
		for(register int j=0;j<c[i];j++) {
			add_edge(i,getint());
		}
	}
	dfs(1,0);
	if(d[1][1]>d[1][0]) {
		puts("NIE");
		return 0;
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(c[i]==0) {
			c[i]=-2;
			dfs(1,0);
			if(d[1][0]>d[1][1]) {
				ans[++ans[0]]=i;
			}
			c[i]=0;
		}
	}
	printf("TAK %d\n",ans[0]);
	for(register int i=1;i<=ans[0];i++) {
		printf("%d%c",ans[i]," \n"[i==ans[0]]);
	}
	return 0;
}

\(\mathcal O(n\log n)\)：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<algorithm>
inline int getint() {
	register char ch;
	register bool neg=false;
	while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return neg?-x:x;
}
const int N=1001;
int c[N],d[N][3],ans[N];
std::vector<int> e[N];
inline void add_edge(const int &u,const int &v) {
	e[u].push_back(v);
}
void dfs(const int &x,const int &par) {
	//0: xyw, 1: jry
	if(c[x]<=0) d[x][c[x]+2]++;
	for(int i=0;i<c[x];i++) {
		const int &y=e[x][i];
		if(y==par) continue;
		dfs(y,x);
		if(d[y][1]==d[y][0]) {
			d[x][2]++;
		} else {
			d[x][d[y][1]>d[y][0]]++;
		}
	}
}
void solve(const int &x,const int &par) {
	if(c[x]==0) ans[++ans[0]]=x;
	for(int i=0;i<c[x];i++) {
		const int &y=e[x][i];
		if(y==par) continue;
		if(d[y][0]+1-d[y][2]%2==d[y][1]) {
			solve(y,x);
		}
	}
}
int main() {
	const int n=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		c[i]=getint();
		for(register int j=0;j<c[i];j++) {
			add_edge(i,getint());
		}
	}
	dfs(1,0);
	if(d[1][1]>d[1][0]) {
		puts("NIE");
		return 0;
	}
	if(d[1][1]<d[1][0]) {
		for(register int i=1;i<=n;i++) {
			if(c[i]==0) {
				ans[++ans[0]]=i;
			}
		}
	} else {
		solve(1,0);
		std::sort(&ans[1],&ans[ans[0]]+1);
	}
	printf("TAK %d\n",ans[0]);
	for(register int i=1;i<=ans[0];i++) {
		printf("%d%c",ans[i]," \n"[i==ans[0]]);
	}
	return 0;
}