●hihocoder #1394 网络流四·最小路径覆盖

题链：

http://hihocoder.com/problemset/problem/1394

题解：

有向图最小路径覆盖：最少的路径条数不重不漏的覆盖所有点。

注意到在任意一个最小路径覆盖的方案下，
每条路径的起点的入度为 0，终点的出度为 0，而中间的点的入度和出度以及起点的出度和终点的入度都为 1
那么把每个点拆为两个： u 和 u'，分别代表其 出点 和 入点
然后对于 边 u->v， 在 u 和 v' 之间建立双向边。
那么形成二分图。
二分图匹配后，某条匹配边上的起点的出度 +1，终点的入度 +1，
那么没有被匹配到的 u'则是某条路径的起点（即没有入度），
那么没有被匹配到的 u 则是某条路径的终点（即没有出度），

正好二分图最大匹配后，没有被匹配的u'（或u）的个数是最少的，则表明路径是最少的（起点或终点是最少的）。
又因为 没有被匹配的 u'的数量 == 点数N - 匹配数

所以，有向图最小路径覆盖 =点数 -二分图最大匹配数

（更加详细的图文讲解，非常不错的 http://blog.csdn.net/tramp_1/article/details/52742572）

二分图匹配可以用匈牙利，也可以用最大流来做。

代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 1500
#define MAXM 50000
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct Edge{
	int to[MAXM],cap[MAXM],nxt[MAXM],head[MAXN],ent;
	void Init(){ent=2;}
	void Adde(int u,int v,int w){
		to[ent]=v; cap[ent]=w; nxt[ent]=head[u]; head[u]=ent++;
		to[ent]=u; cap[ent]=0; nxt[ent]=head[v]; head[v]=ent++;
	}
	int Next(int i,bool type){
		return type?head[i]:nxt[i];
	}
}E;
int cur[MAXN],d[MAXN];
int N,M,S,T;
int idx(int i,int k){
	return i+k*N;
}
bool bfs(){
	queue<int>q; int u,v;
	memset(d,0,sizeof(d));
	d[S]=1; q.push(S);
	while(!q.empty()){
		u=q.front(); q.pop();
		for(int i=E.Next(u,1);i;i=E.Next(i,0)){
			v=E.to[i];
			if(d[v]||!E.cap[i]) continue;
			d[v]=d[u]+1; q.push(v);
		}
	}
	return d[T];
}
int dfs(int u,int reflow){
	if(u==T||!reflow) return reflow;
	int flowout=0,f,v;
	for(int &i=cur[u];i;i=E.Next(i,0)){
		v=E.to[i];
		if(d[v]!=d[u]+1) continue;
		f=dfs(v,min(reflow,E.cap[i]));
		flowout+=f; E.cap[i^1]+=f;
		reflow-=f;	E.cap[i]-=f;
		if(!reflow) break;
	}
	if(!flowout) d[u]=0;
	return flowout;
}
int Dinic(){
	int flow=0;
	while(bfs()){
		memcpy(cur,E.head,sizeof(E.head));
		flow+=dfs(S,INF);
	}
	return flow;
}
int main()
{
	E.Init();
	scanf("%d%d",&N,&M);
	S=N*2+1; T=N*2+2;
	for(int i=1,u,v;i<=M;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		E.Adde(idx(u,0),idx(v,1),1);
	}
	for(int i=1;i<=N;i++){
		E.Adde(S,idx(i,0),1);
		E.Adde(idx(i,1),T,1);
	}
	int match=Dinic();
	printf("%d",N-match);
	return 0;
}