[LeetCode] Find the Duplicate Number 寻找重复数

Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Example 1:

Input: [1,3,4,2,2]
Output: 2

Example 2:

Input: [3,1,3,4,2]
Output: 3

Note:

1. You must not modify the array (assume the array is read only).
2. You must use only constant, O(1) extra space.
3. Your runtime complexity should be less than O(n2).
4. There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.

这道题给了我们 n+1 个数，所有的数都在 [1, n] 区域内，首先让证明必定会有一个重复数，这不禁让博主想起了小学华罗庚奥数中的抽屉原理(又叫鸽巢原理)，即如果有十个苹果放到九个抽屉里，如果苹果全在抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个苹果，这里就不证明了，直接来做题吧。题目要求不能改变原数组，即不能给原数组排序，又不能用多余空间，那么哈希表神马的也就不用考虑了，又说时间小于 O(n²)，也就不能用 brute force 的方法，那也就只能考虑用二分搜索法了，在区间 [1, n] 中搜索，首先求出中点 mid，然后遍历整个数组，统计所有小于等于 mid 的数的个数，如果个数小于等于 mid，则说明重复值在 [mid+1, n] 之间，反之，重复值应在 [1, mid-1] 之间，然后依次类推，直到搜索完成，此时的 low 就是我们要求的重复值，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int left = , right = nums.size();
        while (left < right){
            int mid = left + (right - left) / , cnt = ;
            for (int num : nums) {
                if (num <= mid) ++cnt;
            }
            if (cnt <= mid) left = mid + ;
            else right = mid;
        }
        return right;
    }
};

经过热心网友 waruzhi 的留言提醒还有一种 O(n) 的解法，并给了参考帖子，发现真是一种不错的解法，其核心思想快慢指针在之前的题目 Linked List Cycle II 中就有应用，这里应用的更加巧妙一些，由于题目限定了区间 [1,n]，所以可以巧妙的利用坐标和数值之间相互转换，而由于重复数字的存在，那么一定会形成环，用快慢指针可以找到环并确定环的起始位置，确实是太巧妙了！

解法二：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int slow = , fast = , t = ;
        while (true) {
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
            if (slow == fast) break;
        }
        while (true) {
            slow = nums[slow];
            t = nums[t];
            if (slow == t) break;
        }
        return slow;
    }
};

这道题还有一种位操作 Bit Manipulation 的解法，也十分的巧妙。思路是遍历每一位，然后对于 32 位中的每一个位 bit，都遍历一遍从0到 n-1，将0到 n-1 中的每一个数都跟 bit 相 ‘与’，若大于0，则计数器 cnt1 自增1。同时0到 n-1 也可以当作 nums 数组的下标，从而让 nums 数组中的每个数字也跟 bit 相 ‘与’，若大于0，则计数器 cnt2 自增1。最后比较若 cnt2 大于 cnt1，则将 bit 加入结果 res 中。这是为啥呢，因为对于每一位，0到 n-1 中所有数字中该位上的1的个数应该是固定的，如果 nums 数组中所有数字中该位上1的个数多了，说明重复数字在该位上一定是1，这样我们把重复数字的所有为1的位都累加起来，就可以还原出了这个重复数字，参见代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int res = , n = nums.size();
        for (int i = ; i < ; ++i) {
            int bit = ( << i), cnt1 = , cnt2 = ;
            for (int k = ; k < n; ++k) {
                if ((k & bit) > ) ++cnt1;
                if ((nums[k] & bit) > ) ++cnt2;
            }
            if (cnt2 > cnt1) res += bit;
        }
        return res;
    }
};

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/287

类似题目：

First Missing Positive

Missing Number

Single Number

Find All Numbers Disappeared in an Array

Set Mismatch

Array Nesting

Linked List Cycle II

参考资料：

https://leetcode.com/problems/find-the-duplicate-number/

https://leetcode.com/problems/find-the-duplicate-number/discuss/72872/O(32*N)-solution-using-bit-manipulation-in-10-lines

https://leetcode.com/problems/find-the-duplicate-number/discuss/73045/Simple-C%2B%2B-code-with-O(1)-space-and-O(nlogn)-time-complexity

https://leetcode.com/problems/find-the-duplicate-number/discuss/72846/My-easy-understood-solution-with-O(n)-time-and-O(1)-space-without-modifying-the-array.-With-clear-explanation.

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