【Luogu P2764】最小路径覆盖问题

网络流 \(24\) 题之一。

Problem

Description

给出一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的 \(DAG\) ，求最小路径点覆盖，并输出路径选择方案。

Input Format

第一行有 \(2\) 个正整数 \(n\) 和 \(m\) 。 \(n\) 是给定\(\text{GAP}\)(有向无环图) \(G\) 的顶点数， \(m\) 是 \(G\) 的边数。接下来的 \(m\) 行,每行有两个正整数 \(i\) 和 \(j\) 表示一条有向边 \((i,j)\)。

Output Format

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

Sample

Input

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

Output

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

Range

\(1\leq n\leq 150,1\leq m\leq 6000\)

Mentality

这题其实就是 \(DAG\) 上的最小路径点覆盖，详情参考这篇 \(blog\) 。

其实这里只要叙述怎么处理方案的输出就好了 ......

我们对于二分图跑完最大流之后，扫一遍二分图中所有的边 (并不包括连向超级源点汇点的边) ，根据网络流残余网络的特性，如果某一条边的反边中剩余容量不为 \(0\) ，那么它必定是最大流中的一条可行弧。则我们记录下这条边，对于左侧点 \(i\) ，记录一个 \(next[i]\) 代表 \(i\) 连向的边，并记录右侧点 \(j'\) 是否被经过。接着，我们扫一遍右边的点，如果 \(i'\) 没有被任何一条边经过，则入度为 \(0\) ，必定为路径起点，那么我们从 \(i\) 开始借助 \(next\) 数组遍历这条路径并输出即可。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
int n, m, S, T;
int head[1001], nx[20001], to[20001], w[20001], cnt;
int deep[1001], nt[1001];
bool book[20001], r[1001];
int inf = 1e9, ans;
void add(int u, int v, int W, int d) {
  to[d] = v, nx[d] = head[u], w[d] = W;
  head[u] = d;
}
queue<int> q;
bool init() {
  memset(book, 0, sizeof(book));
  memset(deep, -1, sizeof(deep));
  deep[S] = 1;
  q.push(S);
  while (!q.empty()) {
    int x = q.front();
    q.pop();
    for (int i = head[x]; i; i = nx[i])
      if (deep[to[i]] == -1 && w[i] > 0) {
        deep[to[i]] = deep[x] + 1;
        q.push(to[i]);
      }
  }
  return deep[T] != -1;
}
int dfs(int x, int limit) {
  if (x == T || !limit) return limit;
  int flow = 0, fnow;
  for (int i = head[x]; i; i = nx[i])
    if (deep[to[i]] == deep[x] + 1 && !book[i] &&
        (fnow = dfs(to[i], min(limit, w[i])))) {
      book[i] = true;
      flow += fnow;
      limit -= fnow;
      w[i] -= fnow;
      w[i ^ 1] += fnow;
      if (!limit) break;
    }
  return flow;
}
void print(int x) {
  if (!x) return;
  printf("%d ", x);
  print(nt[x]);
}
int main() {
  cin >> n >> m;
  S = n * 2 + 1, T = n * 2 + 2, cnt = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    add(S, i, 1, ++cnt);
    add(i, S, 0, ++cnt);
    add(i + n, T, 1, ++cnt);
    add(T, i + n, 0, ++cnt);
  }
  int u, v;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    scanf("%d%d", &u, &v);
    v += n;
    add(u, v, inf, ++cnt);
    add(v, u, 0, ++cnt);
  }
  while (init()) dfs(S, inf);
  for (int i = 2; i <= cnt; i += 2) {
    int p1 = to[i], p2 = to[i ^ 1];
    if (p1 == S || p1 == T || p2 == S || p2 == T) continue;
    if (w[i ^ 1]) nt[to[i ^ 1]] = to[i] - n, r[to[i] - n] = true;
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (!r[i]) {
      ans++;
      print(i);
      cout << endl;
    }
  cout << ans;
}