POJ 1061 青蛙的约会 （扩展欧几里得算法）

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

分析：

开始用了暴力枚举，后来一看数据这么大，估计肯定超时，无奈上网搜索了一下，考察的是扩展欧几里德算法，还有比较大的整数_int64的处理。

设经过s步后两青蛙相遇，则必满足该等式：(x+ms)-(y+ns)=kl(k=0,1,2....)

将等式进行变形得：(n-m)s+kl=x-y

令n-m=a,k=b,x-y=c,即原式可以转换为：as+b*l=c

若上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。

首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值，看是否存在s,l的整数解，若存在则输入最小的s，但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。

其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决，先来看下什么是欧几里德扩展原理：

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　 假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r，所以d是(b,a mod b)的公约数

　　 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r，因此d也是(a,b)的公约数

　　 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：　

int Gcd(int a, int b)
{
    　　if(b == 0)
        　　return a;
    return Gcd(b, a % b);　　
}

也可以写成迭代的形式：

int Gcd(int a, int b)　
{
    while(b != 0)
    {
        int r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)　
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
        　　
    }
    int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;　　
}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

可以这样思考:

对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

那么可以得到:a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>

　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

　　ay +b(x - a / by) = Gcd(a, b)

因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/by).

　　

在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：

求a * x + b * y = n的整数解。

1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

x = n' * x0 + b' * t

y = n' * y0 - a' * t

(t为整数)

上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        LL t=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
        return t;
    }
}
LL x,y,m,n,l;
LL a,b,c;
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    a=m-n;
    b=l;
    c=y-x;
    LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%gcd) printf("Impossible\n");
    else
    {
        x*=1LL*c/gcd;
        printf("%lld",(x%b+b)%b);
    }
    return 0;
}