以下讲解内容出自《计算机组成原理(第三版)》(清华大学出版社)
大二学生一只,我的计组老师比较划水,不讲公式推导,所以最近自己研究了下Booth算法的公式推导,希望能让同样在研究Booth算法的小伙伴少花点时间。
 

下面将对上图公式方框中部分进行讲解。

 
首先要摆明一个公式。
**公式X**: - [B]补 = [-B]补 ; [B]补 = - [-B]补
 
意思是 一个数A的补码,等于该补码的机器负数 (机器负数的定义可以见书P85 简单理解一个数Y的机器负数 = [-Y]补)
前加负号的数
比如:
 01100 (12) - [00101(5)]补 = 01100(12) + 10101(-5的补码) = (01100 + 11011)(补码) = 00111 (7的原码和补码)
 
解释1框框:
因为乘数为小数,0.ABCD = A*(2^(-1)) +  B*(2^(-2)) + C*(2^(-3)) + D*(2^(-4))。就和1111 = 1 + 2 + 4 + 8 一个道理。
 
解释2框框内容:
根据公式X, 第二行的 + [-X] 补 * Ys = - [X]补 * Ys
由此得第三行的 -Ys * [X]补
 
解释3框框中的图:
这个框中的意思是一个二进制小数,向左移动一位(乘2),再减去原来的自己,还是等于自己。利用了二进制 高一位 是 低一位两倍的关系。
看上图中,Y1本来是表示Y1*(2^(-1))次方的大小的 ,但是在3框框中却变成了 1 * Y1(左移了一位), 其他位以此类推。并且减去了表示原来的自己的 Y1*(2^(-1)),结果还是 Y1*(2^(-1)),所以等于原来的自己,其他位以此类推。
 
下图的Zn是部分积,并且把部分积从原式中拆解出来后,可以根据这些拆解式分析出Booth算法一位乘法补码运算时的过程
 
 

蓝色框框里的 Y(n+1) - Yn 就是乘数的末两位了(被乘数移位之后),当 Y(n+1) - Yn  = - 1 的时候,

(Y(n+1) - Yn)* [X]补 * 2^(-n) =  (-1) * [X]补 * 2^(-n) = + [-X]补码 * 2^(-n) , X是被乘数,这也可以解释为什么Booth里末两位为10时,要加[-X]补 (因为 Y(n+1) = 0, Yn = 1)。 为什么 Y(n+1) - Yn  = 1 (末两位01)的时候 要加[X]补。而Y(n+1) - Yn  = 0 (末两位为11 或者 00)的时候什么都不做(1 - 1 = 0, 0 - 0 = 0)。而 2^(-n) 中的n则是当前部分积相对原来开始时右移的位数,所以(Y(n+1) - Yn)* [X]补 * 2^(-n) 解释起来就是 (Y(n+1) - Yn) 根据乘数末两位来确定 -1,0 , 1。也就是加还是减或者什么都不做。[X]补是原来被乘数的补码,因为乘数Y是1和0组成的,所以整个乘法X*Y的过程就是在决定要不要加X,或者不加的过程,当然补码运算比较特殊,还有减去操作。而2^(-n)的n则是表示当前乘法部分积移动的位数。
 
下图是部分积拆解结果和运算过程的对应关系分析
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

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