HDU5950 矩阵快速幂（巧妙的递推）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5950

题意：f[n] = 2*f[n-2] + f[n-1] + n^4

思路：对于递推题而言，如果递推n次很大，则考虑矩阵快速幂的方式推出递推式，计算出累乘的矩阵

本题递推式：本题的递推式子虽然已经给出，但是由于n^4的关系，直接是无法使用这个f[n] = 2*f[n-2] + f[n-1] + n^4递推完成矩阵的推导的，而是可以先处理一下，如下：

f[n] = 2*f[n-2] + f[n-1] + n^4

f[n+1] = 2*f[n-1] + f[n] + n^4 + 4*n^3 + 6*n^2 + 4*n + 1

f[n+2] = 2*f[n] + f[n+1] + (n+1)^4 + 4*(n+1)^3 + 6*(n+1)^2 + 4*(n+1)+ 1

此时，我们发现从n+1项开始包括n+1项，都是由7个部分组成的多项式，则我们可以利用n+1项和n+2项的多项式进行矩阵快速幂的递推矩阵的推导，由于矩阵乘法的性质，对于一个1X7的矩阵A，要求相乘另一个矩阵B之后，还是一个1X7的矩阵，则矩阵B的规模必须是7X7，下面是推导， 对于黄色的一行乘绿色一列，得到橙色的一个数

完成矩阵的递推之后，就很简单了，用矩阵的快速幂计算即可，需要注意的是对于n>=3，我们才需要进行矩阵相乘的运算，而初始的时候，我们需要计算出黄色矩阵代表的部分，本题就是将n==2代入，算出初始黄色矩阵为[a, b, 16, 8, 4, 2, 1]

代码：

 #include<iostream>
 #include<stdio.h>
 using namespace std;

 const long long mod = ;
 struct mat{
     long long m[][];
 };

 mat operator * (mat a, mat b){        //重载乘号，同时将数据mod10000
     mat ret;
     for(int i = ; i < ; i++){
         for(int j = ; j < ; j++){
             long long temp = ;
             for(int k = ; k < ; k++){
                 temp += a.m[i][k] * b.m[k][j];
                 temp %= mod;
             }
             ret.m[i][j] = temp;
         }
     }
     return ret;
 }

 mat pow_mat(int f1, int f2, mat a, int n){        //矩阵快速幂和快速幂相同（广义快速幂的思想）
     mat res;
     res.m[][] = f1,res.m[][] = f2,res.m[][] = ,res.m[][] = ,res.m[][] = ,res.m[][] = ,res.m[][] = ;
     while(n){
         if(n&) res = res * a;
         a = a*a;
         n >>= ;
     }
     return res;
 }

 int main(){
     int t;
     scanf("%d", &t);
     while(t--){
         int n, a, b;
         scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
         if(n == ) printf("%d\n", a);
         else if(n == ) printf("%d\n", b);
         else{
             mat x;
             x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ;
             x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ;
             x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ;
             x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ;
             x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ;
             x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ;
             x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ,x.m[][] = ;
             mat ans = pow_mat(a, b, x, n-);
             printf("%d\n", ans.m[][]);
         }
     }
     return ;
 }