AcWing 326. XOR和路径

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如果整体来做，发现既有加法，也有整体异或，这样不容易搞。

考虑异或，各个位置互不干扰，按位考虑一下。

枚举每一位 \(k\)

发现如果设 \(f[u]\) 为这一位的期望结果还是不好做。

由于 每个位置只有 0 或者 1 两种操作，不妨设 \(f[u]\) 为 \(u - n\) 这一位路径为 1 的概率，最后对答案的贡献是 \(2 ^ k * f[1]\)。

然后一个按照题意的转移：\(f[u] = \frac{1}{deg[u]}(\sum_{w = 0}f[v] + \sum_{w = 1}(1 - f[v]))\)，这是一个只涉及加减运算的方程组，就能高斯消元了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 105, M = 10005;
int n, m, d[N];
int head[N], numE = 0;
double a[N][N];
struct E{
	int next, v, w;
} e[M << 1];
void add(int u, int v, int w) {
	e[++numE] = (E) { head[u], v, w };
	head[u] = numE; d[u]++;
}

void gauss() {
	int r, c;
	for (r = 1, c = 1; c < n; c++) {
		int t = -1;
		for (int i = r; i < n; i++)
			if (fabs(a[i][c]) && (t == -1 || fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))) t = i;
		for (int i = c; i <= n; i++) swap(a[r][c], a[t][c]);
		for (int i = n; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];
 		for (int i = 1; i < n; i++) {
			if (i != r) for (int j = n; j >= c; j--) a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
 		}
	    r++;
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		add(u, v, w); if(u != v) add(v, u, w);
	}
	double ans = 0;
	for (int i = 30; ~i; i--) {
		memset(a, 0, sizeof a);
		for (int u = 1; u < n; u++) {
			a[u][u] = d[u];
			for (int j = head[u]; j; j = e[j].next) {
				int v = e[j].v;
				if (e[j].w >> i & 1) {
					a[u][n]++;
					if (v != n) a[u][v]++;
				} else {
					if (v != n) a[u][v]--;
				}
			}
		}
		gauss();
		ans += (1 << i) * a[1][n];
	}
	printf("%.3lf\n", ans);
	return 0;
}