noip复习——快速幂

\(a ^ n \bmod p\)

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\(a, p, n \leq 10^9\)

最普通的二进制拆分

#define LL long long
LL qpow(LL a, LL n, LL p)
{
    LL ans = 1;
    for (; n; n >>= 1, a = a * a % p)
        if (n & 1)
            ans = ans * a % p;
    return ans % p;
}

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\(a, p, n \leq 10^{14}\)

底数变大了，直接做\(a * a\)会爆longlong，需要用类似快速幂的方法做乘法

#define LL long long
LL mul(LL a, LL n, LL p)
{
    LL ans = 0;
    for (; n; n >>= 1, a = (a << 1) % p)
        if (n & 1)
            ans = (ans + a) % p;
    return ans % p;
}
LL qpow(LL a, LL n, LL p)
{
    LL ans = 1;
    for (; n; n >>= 1, a = mul(a, a, p))
        if (n & 1)
            ans = mul(ans, a, p) % p;
    return ans % p;
}

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\(a, p \leq 10^{14}, \ n \leq 10 ^ {100}\) \((a \perp p)\)

初看数据范围，出题人在搞事情。其实只是用了一个欧拉定理的结论：

\[a^n \equiv a^{n \bmod \varphi(p)} \pmod p\ \ \ (a \perp p)
\]

\(O(\sqrt{p})\)算\(\varphi(p)\)，n先读字符串然后按快读的方式处理即可。

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\(a, p \leq 10^{14}, \ n \leq 10 ^ {100}\)

\(a, p\)互质的条件去掉了怎么办？当\(n \leq \varphi(p)\)时可以直接算，否则用到以下结论：

\[a^n \equiv a^{n \bmod \varphi(p) + \varphi(p)} \pmod p
\]