SPOJ GCDMAT - GCD OF MATRIX

简要题意

给出三个整数 \(T,n,m\)，\(T\) 组询问，每组询问给出四个整数 \(i_1,j_1,i_2,j_2\)（数据保证 \(i_1,j_1\leq n\ \ i_2,j_2\leq m\)），计算：

\[\sum_{i=i_1}^{i_2}\sum_{j=j_1}^{j_2}{\gcd(i,j)}\bmod{10^9+7}
\]

\(1\leq T\leq500,1\leq n,m\leq5\times10^4\)

思路

这是一道欧拉反演题。

首先我们可以转换为求下面的式子：

\[F(x,y)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}{\gcd(i,j)}\bmod{10^9+7}
\]

为什么，因为可以通过差分的思想将题目中的式子改为 \(F(i_2,j_2)-F(i_1-1,j_2)-F(i_2,j_1-1)-F(i_1-1,j_1-1)\)。而且从 \(1\) 开始求和的式子更容易变形。

下面设 \(F(x,y)\) 中 \(x<y\)。

定理 1（欧拉反演公式）：\(i=\sum_{d\mid i}{\varphi(d)}\)

证明：\(i=\sum_{d\mid i}\sum_{j=1}^{i}{[\gcd(i,j)=d]}=\sum_{d\mid i}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{i}{d}\rfloor}{[\gcd(i,j)=1]}=\sum_{d\mid i}\varphi(\frac{i}{d})=\sum_{d\mid i}{\varphi(d)}\)

推论 1：\(\gcd(i,j)=\sum_{p\mid i,p\mid j}\varphi(p)\)

证明：由欧拉反演公式 \(i=\sum_{d\mid i}{\varphi(d)}\) 得 \(\gcd(i,j)=\sum_{p\mid\gcd(i,j)}\varphi(p)\)。根据最大公约数的性质即可变形成 \(\gcd(i,j)=\sum_{p\mid i,p\mid j}\varphi(p)\)。

然后代入原式（以下过程省略模数）：

\[F(x,y)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}{\sum_{p\mid i,p\mid j}\varphi(p)}
\]

改为先枚举 \(p\)，得：

\[F(x,y)=\sum_{p=1}^{x}\varphi(p)(\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}{[p\mid i][p\mid j]})
\]

将右边的式子化简得：

\[F(x,y)=\sum_{p=1}^{x}\varphi(p)\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\lfloor\frac{m}{p}\rfloor
\]

预处理 \(\varphi\) 函数前缀和，就可以使用数论分块计算了。

时间复杂度预处理 \(O(m)\)，单次询问 \(O(\sqrt{n})\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int phi[10000005],vis[10000005],prime[10000005],sum[10000005],tot;
const int mod = 1e9+7;

int M(const int x){
	return (x%mod+mod)%mod;
}

void sieve(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=50000;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=50000;i++){
		sum[i]=M(sum[i-1]+phi[i]);
	}
}

int solve(int a,int b) {
	int ans=0;
	if (a>b) swap(a,b);
	for (int l=1,r=0;l<=a;l=r+1) {
		r=min(a/(a/l),b/(b/l));
		ans=M(ans+M(M(M(sum[r]-sum[l-1])*(a/l))*(b/l)));
	}
	return ans;
}

int n,m,T;

signed main() {
	sieve();
	cin>>T>>n>>m;
	while (T--) {
		int i1,j1,i2,j2;
		cin>>i1>>j1>>i2>>j2;
		cout<<M(solve(i2,j2)-solve(i1-1,j2)-solve(i2,j1-1)+solve(i1-1,j1-1))<<'\n';
	}
	return 0;
}