分治FFT

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分治FFT

目的

解决这样一类式子：

\[f[n] = \sum_{i = 0}^{n - 1}f[i]g[n - i]
\]

算法

看上去跟普通卷积式子挺像的，但是由于计算\(f\)的每一项时都在利用它前面的项来产生贡献，所以不能一次FFT搞完。用FFT爆算复杂度\(O(n^2logn)\),比直接枚举复杂度还高……

考虑优化这个算法，如果我们要计算区间\([l, r]\)内的\(f\)值，如果可以快速算出区间\([l, mid]\)内的\(f\)值对区间\([mid + 1, r]\)内的\(f\)值产生了怎样的影响，就可以采取CDQ分治，不断递归下去算。

考虑\(x \in [mid + 1, r]\),\([l, mid]\)给它的贡献是：

\[h[x] = \sum_{i = l}^{mid}f[i]g[x - i]
\]

为了方便，我们将范围扩充到\([1, x - 1]\)(假设此时\(f[mid + 1] ... f[r] = 0\)),因此有：

\[h[x] = \sum_{i = l}^{x - 1}f[i]g[x - i]
\]

为了便于FFT计算，将枚举改成从0开始。(把表达式中的\(i\)改成\(i + l\),因为原来的\(i\)等于现在的\(i + l\))

\[h[x] = \sum_{i = 0}^{x - l - 1}f[i + l]g[x - l - i]
\]

为了表示成卷积形式，我们令:

\[a[i] = f[i + l], b[i - 1] = g[i]
\]

再在原式中用\(a[i], b[i]\)代替\(f[i], g[i]\).

\[h[x] = \sum_{i = 0}^{x - l - 1}a[i] b[x - l - 1 - i]
\]

观察到后面刚好就是多项式乘法中某一项的系数，即

\[h[x] = (a * b)(x - l - 1)
\]

在cdq分治的过程中用FFT/NTT计算即可。

代码

洛谷上的模板，因为要取模，所以用的NTT

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define p 998244353
#define AC 400100
#define LL long long
#define ld double

const int G = 3, Gi = 332748118;
int n, lim, len;
int f[AC], g[AC], a[AC], b[AC], rev[AC];

inline int read()
{
	int x = 0;char c = getchar();
	while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x;
}

inline void up(int &a, int b) {a += b; if(a < 0) a += p; if(a >= p) a -= p;}

inline int qpow(int x, int have)
{
	int rnt = 1;
	while(have)
	{
		if(have & 1) rnt = 1LL * rnt * x % p;
		x = 1LL * x * x % p, have >>= 1;
	}
	return rnt;
}

void init(int length)//这里的length已经是2个数组加起来的长度了
{
	lim = 1, len = 0;
	while(lim <= length) lim <<= 1, ++ len;
	for(R i = 0; i < lim; i ++)
		rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1)), a[i] = b[i] = 0;
}

void NTT(int *A, int opt)
{
	for(R i = 0; i < lim; i ++)
		if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
	for(R i = 1; i < lim; i <<= 1)
	{
		LL W = qpow((opt > 0) ? G : Gi, (p - 1) / (i << 1));
		for(R r = i << 1, j = 0; j < lim; j += r)
			for(R k = 0, w = 1; k < i; k ++, w = 1LL * w * W % p)
			{
				int x = A[j + k], y = 1LL * w * A[j + k + i] % p;
				A[j + k] = (x + y) % p, A[j + k + i] = (x - y) % p;
			}
	}
	if(opt == -1)
	{
		int inv = qpow(lim, p - 2);
		for(R i = 0; i < lim; i ++) A[i] = 1LL * A[i] * inv % p;
	}
}

void pre()
{
	n = read(), f[0] = 1;
	for(R i = 1; i < n; i ++) g[i] = read();
}

void cal(int *A, int *B)
{
	NTT(A, 1), NTT(B, 1);
	for(R i = 0; i <= lim; i ++) A[i] = 1LL * A[i] * B[i] % p;
	NTT(A, -1);
}

void cdq(int l, int r)
{
	if(l == r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1, length = r - l + 1;
	cdq(l, mid);
	init(length);
	for(R i = l; i <= mid; i ++) a[i - l] = f[i];
	for(R i = 1; i < length; i ++) b[i - 1] = g[i];//这里要移动是为了凑x - l - 1
	cal(a, b);
	for(R i = mid + 1; i <= r; i ++) up(f[i], a[i - l - 1]);
	cdq(mid + 1, r);
}

int main()
{
	freopen("in.in", "r", stdin);
	pre();
	cdq(0, n - 1);
	for(R i = 0; i < n; i ++) printf("%d ", ((f[i] % p) + p) % p);
	printf("\n");
	fclose(stdin);
	return 0;
}