【ZJOI2017 Round1练习&BZOJ4774】D3T2 road（斯坦纳树，状压DP）

题意：

对于边带权的无向图 G = (V, E)，请选择一些边，

使得1<=i<=d,i号节点和 n − i + 1 号节点可以通过选中的边连通，

最小化选中的所有边的权值和。

d<=4 n<=10000 m<=10000 w[i]<=1000

思路：

求一个最小生成树(或森林)，使得若干组点对各自联通
由于d很小(<=4)，考虑采用状压DP的做法。
令1,2,..d和n,n-1...n-d+1为2d个特殊点
先考虑生成树的情况：设F[i][j](i=1,2...n j为一个2d位的2进制)表示以第i个点为根，当前生成树包含特殊点的情况为j的最小代价
一共有两种转移方法：
① F[i][j]+F[i][k]-->F[i][j|k]
② F[i][j]+edg[i][k]-->F[k][j]
初始条件(d=3为例)F[1][000001]=F[2][000010]=F[3][000100]=F[n-2][001000]=F[n-1][010000]=F[n][100000]=0，其余F=inf
从小到大枚举j(0...1<<(2*d)-1)
对每个j，再枚举i和(j的一个子集k)，F[i][j]=min{F[i][k]+F[i][j-k]}
对第二种转移按照多源最短路的方式跑spfa
得到F后再考虑怎么求生成森林答案
令G[i]表示当前点对联通状态为i时的最小代价(如i=011时表示第一个点对(1,n)不连通，第二和三个点对(2,n-1),(3,n-2)连通)
则G[i]=min{G[j]+G[i-j],F[k][p]}(j是i的子集,k=1,2,....n，p表示i代表的点对的所有点的状压形式，如i=001，代表(3,n-2)，此时p=001100)}
最后答案就是G[(1<<d)-1]

时间复杂度：求F O(3^(2*d)*n /*第一步*/ + 2^(2*d)*spfa(n,m) /*第二步*/ )，求G复杂度远低于F，可忽略
空间复杂度：F数组O(n*2^(2*d))，G忽略

 const oo=;
 var head,vet,next,len:array[..]of longint;
     dp:array[..,..]of longint;
     g:array[..]of longint;
     q:array[..]of longint;
     inq:array[..]of boolean;
     n,m,sta,i,j,tot,d,x,y,z,s,v,sum:longint;

 function min(x,y:longint):longint;
 begin
  if x<y then exit(x);
  exit(y);
 end;

 procedure add(a,b,c:longint);
 begin
  inc(tot);
  next[tot]:=head[a];
  vet[tot]:=b;
  len[tot]:=c;
  head[a]:=tot;
 end;

 procedure spfa(sta:longint);
 var i,t,w,u,e,v:longint;
 begin
  t:=; w:=;
  for i:= to n do
  begin
   inc(w); q[w]:=i; inq[i]:=true;
  end;
  while t<w do
  begin
   inc(t); u:=q[t mod ]; inq[u]:=false;
   e:=head[u];
   while e<> do
   begin
    v:=vet[e];
    if dp[u,sta]+len[e]<dp[v,sta] then
    begin
     dp[v,sta]:=dp[u,sta]+len[e];
     if not inq[v] then
     begin
      inc(w); q[w mod ]:=v; inq[v]:=true;
     end;
    end;
    e:=next[e];
   end;
  end;
 end;

 begin
  assign(input,'road.in'); reset(input);
  assign(output,'road.out'); rewrite(output);
  readln(n,m,d);
  for i:= to m do
  begin
   readln(x,y,z);
   add(x,y,z);
   add(y,x,z);
  end;
  sum:=<<(d<<);
  for i:= to sum- do
   for j:= to n do dp[j,i]:=oo;
  for i:= to d do
  begin
   dp[i,<<(i-)]:=;
   dp[n-i+,<<(i+d-)]:=;
  end;

  for sta:= to sum- do
  begin
   for i:= to n do
   begin
    v:=sta-;
    while v> do
    begin
     dp[i,sta]:=min(dp[i,sta],dp[i,v]+dp[i,sta xor v]);
     v:=sta and (v-);
    end;
   end;
   spfa(sta);
  end;
  sum:=<<d;
  for sta:= to sum- do
  begin
   g[sta]:=oo;
   for i:= to n do g[sta]:=min(g[sta],dp[i,sta or (sta<<d)]);
  end;
  for sta:= to sum- do
  begin
   v:=sta-;
   while v> do
   begin
    g[sta]:=min(g[sta],g[v]+g[sta xor v]);
    v:=sta and (v-);
   end;
  end;
  if g[sum-]<oo then writeln(g[sum-])
   else writeln(-);

  close(input);
  close(output);
 end.