bzoj 3456 城市规划 无向简单连通图个数 多项式求逆

题目大意

求n个点的无向简单连通图个数

做法1

\(f[i]\)表示i个点的无向简单连通图个数
\(g[i]=2^{\frac {i*(i-1)}{2}}\)表示i个点的无向简单图个数（不要求连通）
f[i]就是g[i]减去不连通的情况数
我们枚举\(1\)所在连通块大小\(j\)
则有
\[
\begin{aligned}
f[i]&=g[i]-\sum_{j=1}^{i-1}\binom {i-1}{j-1}f[j]*g[i-j]\\
g[i]-f[i]&=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}f[j]*g[i-j]\\
\frac {g[i]}{(i-1)!}-\frac {f[i]}{(i-1)!}&=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{f[j]}{(j-1)!}*\frac {g[i-j]}{(i-j)!}\\
\frac {g[i]}{(i-1)!}&=\sum_{j=1}^{i}\frac{f[j]}{(j-1)!}*\frac {g[i-j]}{(i-j)!}\\
A&=B*C\\
B&=A*C^{-1}
\end{aligned}
\]
好了显然了
弄成生成函数求个逆就好了

做法2

\[
\begin{aligned}
\frac {g[i]}{(i-1)!}&=\sum_{j=1}^{i}\frac{f[j]}{(j-1)!}*\frac {g[i-j]}{(i-j)!}\\
提出\frac {f[i]}{(i-1)!}\\
\frac {f[i]}{(i-1)!}&=\frac {g[i]}{(i-1)!}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{f[j]}{(j-1)!}*\frac {g[i-j]}{(i-j)!}\\
\end{aligned}
\]
分治+FFT

做法3

多项式求ln

solution

没时间了先不写了 挖坑