bzoj 2186

非常有趣的题

题意：求1~N！中有多少个与M！互质的数，T组询问，答案对R取模

题解：

首先，因为N>M，所以N！>M！，所以答案一定有一部分是φ（M！）

接下来做一些分析：

引理：

若x与p互质，则x+kp与p互质（k∈Z）

证明：

反证法：假设x+kp与p不互质，则设gcd(x+kp,p）=d(d!=1)，那么设p=k1d,x+kp=k2d，于是：

x=k2d-kk1d

所以x=(k2-kk1)d

那么gcd（x,p）=d

这与x与p互质相矛盾，假设不成立，原命题得证

那么，我们可以将N！分组，每组大小为M!（即将N!中每个数表示成kM！+c），那么每部分与M!互质的数的个数都是φ（M!），合起来就是N!/M!*φ（M!）

预处理即可，需要使用unsigned来卡常

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll unsigned int
#define ull unsigned long long
#define maxn 10000000
using namespace std;
ll n,m;
ll T,R;
ll inv[maxn+];
ll mul[maxn+];
ll pri[maxn+];
ll phi[maxn+];
bool used[maxn+];
int tot=;
void init()
{
    phi[]=inv[]=inv[]=mul[]=mul[]=;
    for(int i=;i<=maxn;i++)
    {
        inv[i]=(ull)(R-R/i)*inv[R%i]%R;
        if(!used[i])
        {
            pri[++tot]=i;
        }
        for(int j=;j<=tot&&i*pri[j]<=maxn;j++)
        {
            used[i*pri[j]]=;
            if(i%pri[j]==)
            {
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=;i<=maxn;i++)
    {
        mul[i]=(ull)mul[i-]*i%R;
        inv[i]=(ull)inv[i-]*inv[i]%R;
        if(!used[i])
        {
            phi[i]=(ull)phi[i-]*(i-)%R;
        }else
        {
            phi[i]=(ull)phi[i-]*i%R;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%u%u",&T,&R);
    init();
    while(T--)
    {
        scanf("%u%u",&n,&m);
        printf("%u\n",(ull)mul[n]*inv[m]%R*(ull)phi[m]%R);
    }
    return ;
}