【BZOJ5020】【THUWC2017】在美妙的数学王国中畅游 LCT 泰勒展开

题目大意

　　给你一棵树，每个点有一个函数\(f(x)\)

• 正弦函数 \(\sin(ax+b) (a\in[0,1],b\in[0,\pi],a+b\in[0,\pi])\)
• 指数函数 \(e^{ax+b} (a\in[−1,1],b\in[−2,0],a+b\in[−2,0])\)
• 一次函数 \(ax+b (a\in[−1,1],b\in[0,1],a+b\in[0,1])\)

　　还有一些操作：

• 操作1：连接两个点（保证连接完后还是森林）
• 操作2：断开两个点之间的边
• 操作3：修改某一个点的函数
• 操作4：询问两个点路径上的所有函数的\(f(v)\)的和。

　　\(n\leq 100000,m\leq 200000,0\leq v\leq 1,0\leq f(v)\leq 1\)

题目描述

　　前面两个操作就是link和cut。

　　我们需要在每个点上维护这个函数，但这些都不是多项式函数。我们可以发现\(0\leq v\leq 1\)，所以可以暴力维护这些函数在\(x=0\)处的泰勒展开式（就是生成函数）。我维护了前面\(15\)项。

\[\begin{align}
e^x&=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}\\
\sin(x)&=\sum_{i=0}^\infty{(-1)}^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}
\end{align}
\]

　　每个函数的\(x=av+b\)，直接用二项式定理暴力展开就可以了。

　　时间复杂度：\(O(len\times m\log n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifdef DEBUG
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
const int len=15;
namespace lct
{
	double v[100010][16];
	double s[100010][16];
	int a[100010][2];
	int f[100010];
	int r[100010];
	void cp(int x)
	{
		memcpy(s[x],v[x],sizeof(double)*(len+1));
	}
	int root(int x)
	{
		return !f[x]||(a[f[x]][0]!=x&&a[f[x]][1]!=x);
	}
	void reverse(int x)
	{
		swap(a[x][0],a[x][1]);
		r[x]^=1;
	}
	void push(int x)
	{
		if(r[x])
		{
			if(a[x][0])
				reverse(a[x][0]);
			if(a[x][1])
				reverse(a[x][1]);
			r[x]=0;
		}
	}
	void mt(int x)
	{
		int i;
		int ls=a[x][0];
		int rs=a[x][1];
		for(i=0;i<=len;i++)
			s[x][i]=v[x][i]+s[ls][i]+s[rs][i];
	}
	void rotate(int x)
	{
		int p=f[x];
		int q=f[p];
		int ps=(x==a[p][1]);
		int qs=(p==a[q][1]);
		int ch=a[x][ps^1];
		if(!root(p))
			a[q][qs]=x;
		a[x][ps^1]=p;
		a[p][ps]=ch;
		if(ch)
			f[ch]=p;
		f[p]=x;
		f[x]=q;
		mt(p);
		mt(x);
	}
	void pushdown(int x)
	{
		if(!root(x))
			pushdown(f[x]);
		push(x);
	}
	void splay(int x)
	{
		pushdown(x);
		while(!root(x))
		{
			int p=f[x];
			if(!root(p))
			{
				int q=f[p];
				if((x==a[p][1])==(p==a[q][1]))
					rotate(p);
				else
					rotate(x);
			}
			rotate(x);
		}
	}
	void access(int x)
	{
		int y=x,t=0;
		while(x)
		{
			splay(x);
			a[x][1]=t;
			mt(x);
			t=x;
			x=f[x];
		}
		splay(y);
	}
	void change(int x)
	{
		access(x);
		reverse(x);
	}
	void link(int x,int y)
	{
		change(x);
		f[x]=y;
		splay(x);
	}
	void cut(int x,int y)
	{
		change(x);
		access(y);
		f[a[y][0]]=0;
		a[y][0]=0;
		mt(y);
	}
	int find(int x)
	{
		access(x);
		while(a[x][0])
			x=a[x][0];
		splay(x);
		return x;
	}
	double query(int x,int y,double v)
	{
		double res=0;
		change(x);
		access(y);
		int i;
		for(i=len;i>=0;i--)
		{
			res*=v;
			res+=s[y][i];
		}
		return res;
	}
}
double c[16][16];
double fac[16];
void init()
{
	int i,j;
	fac[0]=1;
	for(i=1;i<=len;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i;
	for(i=0;i<=len;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(j=1;j<=i;j++)
			c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
	}
}
inline double get(int t,int x)
{
	if(t==1)
	{
		if(x%4==1)
			return 1/fac[x];
		else if(x%4==3)
			return -1/fac[x];
		return 0;
	}
	else if(t==2)
	{
		return 1/fac[x];
	}
	else
	{
		if(x==1)
			return 1;
		return 0;
	}
}
void change(double *s,int t,double a,double b)
{
	static double pa[16],pb[16];
	int i,j;
	for(i=0;i<=len;i++)
		s[i]=0;
	pa[0]=pb[0]=1;
	for(i=1;i<=len;i++)
	{
		pa[i]=pa[i-1]*a;
		pb[i]=pb[i-1]*b;
	}
	double v;
	if(t==1)
	{
		for(i=1;i<=len;i+=2)
		{
			v=get(t,i);
			for(j=0;j<=i;j++)
				//(ax+b)^t=C(t,i)a^ib^(t-i)
				s[j]+=v*c[i][j]*pa[j]*pb[i-j];
		}
	}
	else if(t==2)
	{
		for(i=0;i<=len;i++)
		{
			v=get(t,i);
			for(j=0;j<=i;j++)
				//(ax+b)^t=C(t,i)a^ib^(t-i)
				s[j]+=v*c[i][j]*pa[j]*pb[i-j];
		}
	}
	else
	{
		s[0]=b;
		s[1]=a;
	}
}
int main()
{
	open("bzoj5020");
	init();
	int n,m;
	char type[100];
	scanf("%d%d%s",&n,&m,type);
	double a,b,v;
	int x,y,t;
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%lf%lf",&t,&a,&b);
		change(lct::v[i],t,a,b);
		lct::cp(i);
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s",type);
		if(type[0]=='a')
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			x++;
			y++;
			lct::link(x,y);
		}
		else if(type[0]=='d')
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			x++;
			y++;
			lct::cut(x,y);
		}
		else if(type[0]=='m')
		{
			scanf("%d%d%lf%lf",&x,&t,&a,&b);
			x++;
			lct::access(x);
			change(lct::v[x],t,a,b);
			lct::cp(x);
		}
		else
		{
			scanf("%d%d%lf",&x,&y,&v);
			x++;
			y++;
			if(lct::find(x)!=lct::find(y))
			{
				printf("unreachable\n");
				continue;
			}
			double ans=lct::query(x,y,v);
			printf("%.8le\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}