洛谷 P4389: 付公主的背包

题目传送门：洛谷 P4389。

题意简述：

有 \(n\) 个物品，每个物品都有无限多，第 \(i\) 个物品的体积为 \(v_i\)（\(v_i\le m\)）。

问用这些物品恰好装满容量为 \(i\) 的背包的方案数，两个方案不同当且仅当存在某一个物品的选取数量不同。

你需要对 \(i\in [1,m]\) 回答，答案对 \(998,244,353\) 取模。

题解：

对于一个体积为 \(v\) 的物品，它装满容量为 \(x\) 的背包的方案数序列为 \(a_x=[v|x]\)。

例如 \(v=3\) 时有序列（从 \(0\) 开始）：\(\{1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,\cdots\}\)。

它的普通生成函数为 \(\displaystyle\frac{1}{1-x^v}\)。

记答案的普通生成函数为 \(F(x)\)，则有 \(\displaystyle F(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x^{v_i}}\)。

两边取对数：\(\displaystyle\ln F(x)=\sum_{i=1}^{n}\ln\frac{1}{1-x^{v_i}}\)。

有一个式子：\(\displaystyle\ln\frac{1}{1-x^k}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}x^{ik}\)。

这个式子的证明：

记 \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{1-x^k}\)，设 \(G(x)=\ln F(x)\)。

\[\begin{aligned}G(x)&=\ln F(x)\\&=\int(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln F)(x)\mathrm{d}x\\&=\int(\frac{F'(x)}{F(x)})\mathrm{d}x\\&=\int((1-x^k)F'(x))\mathrm{d}x\\&=\int((1-x^k)\sum_{i=1}^{\infty}k\cdot i\cdot x^{ki-1})\mathrm{d}x\\&=\int(\sum_{i=1}^{\infty}k\cdot i\cdot x^{ki-1}-\sum_{i=1}^{\infty}k\cdot i\cdot x^{ki-1}\cdot x^k)\mathrm{d}x\\&=\int(\sum_{i=1}^{\infty}k\cdot i\cdot x^{ki-1}-\sum_{i=1}^{\infty}k\cdot (i-1)\cdot x^{ki-1})\mathrm{d}x\\&=\int(\sum_{i=1}^{\infty}k\cdot x^{ki-1})\mathrm{d}x\\&=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}x^{ki}\end{aligned}
\]

建议背一些常用式子。

那么就显而易见了：

\[\begin{aligned}\ln F(x)&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}x^{v_{i}j}\\&=\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}[v_i=k]}{i}x^{kj}\end{aligned}
\]

记 \(b_k\) 为体积为 \(k\) 的物品数量，并且我们只需要次数小于等于 \(m\) 的项，有 \(\displaystyle\ln F(x)\equiv\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\frac{b_k}{i}x^{kj}\pmod{x^{m+1}}\)。

右边可以在 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\frac{m}{i}=O(m\ln m)\) 的时间内得到，左边使用多项式 \(\mathrm{Exp}\) 在 \(O(m\log m)\) 的时间内得到，总时间复杂度 \(O(m\log m)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

typedef long long LL;
const int Mod = 998244353;
const int G = 3, iG = 332748118;
const int MS = 1 << 19 | 7;

inline LL qPow(LL b, int e) {
	LL a = 1;
	for (; e; e >>= 1, b = b * b % Mod)
		if (e & 1) a = a * b % Mod;
	return a;
}

LL Inv[MS];

inline void Init(int N) {
	Inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i < N; ++i) Inv[i] = -(Mod / i) * Inv[Mod % i] % Mod;
}

int Sz, R[MS]; LL InvSz;

inline void InitFNTT(int N) {
	int Bt = 0;
	for (; 1 << Bt < N; ++Bt) ;
	if (Sz == (1 << Bt)) return ;
	Sz = 1 << Bt; InvSz = -(Mod - 1) / Sz;
	for (int i = 1; i < Sz; ++i) R[i] = R[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << (Bt - 1);
}

inline void FNTT(LL *A, int Ty) {
	for (int i = 0; i < Sz; ++i) if (R[i] < i) std::swap(A[R[i]], A[i]);
	for (int j = 1, j2 = 2; j < Sz; j <<= 1, j2 <<= 1) {
		LL gn = qPow(~Ty ? G : iG, (Mod - 1) / j2), g, X, Y;
		for (int i = 0, k; i < Sz; i += j2) {
			for (k = 0, g = 1; k < j; ++k, g = g * gn % Mod) {
				X = A[i + k], Y = g * A[i + j + k] % Mod;
				A[i + k] = (X + Y) % Mod, A[i + j + k] = (X - Y) % Mod;
			}
		}
	}
	if (!~Ty) for (int i = 0; i < Sz; ++i) A[i] = A[i] * InvSz % Mod;
}

inline void PolyInv(LL *A, int N, LL *B) {
	static LL tA[MS], tB[MS];
	B[0] = qPow(A[0], Mod - 2);
	for (int L = 1; L < N; L <<= 1) {
		int L2 = L << 1, L4 = L << 2;
		InitFNTT(L4);
		memcpy(tA, A, 8 * L2);
		memset(tA + L2, 0, 8 * (Sz - L2));
		memcpy(tB, B, 8 * L);
		memset(tB + L, 0, 8 * (Sz - L));
		FNTT(tA, 1), FNTT(tB, 1);
		for (int i = 0; i < Sz; ++i) tB[i] = (2 - tB[i] * tA[i]) % Mod * tB[i] % Mod;
		FNTT(tB, -1);
		for (int i = 0; i < L2; ++i) B[i] = tB[i];
	}
}

inline void PolyLn(LL *A, int N, LL *B) {
	static LL tA[MS], tB[MS];
	PolyInv(A, N - 1, tB);
	InitFNTT(N * 2 - 3);
	for (int i = 1; i < N; ++i) tA[i - 1] = i * A[i] % Mod;
	memset(tA + N - 1, 0, 8 * (Sz - N + 1));
	memset(tB + N - 1, 0, 8 * (Sz - N + 1));
	FNTT(tA, 1), FNTT(tB, 1);
	for (int i = 0; i < Sz; ++i) tA[i] = tA[i] * tB[i] % Mod;
	FNTT(tA, -1);
	B[0] = 0;
	for (int i = 1; i < N; ++i) B[i] = tA[i - 1] * Inv[i] % Mod;
}

inline void PolyExp(LL *A, int N, LL *B) {
	static LL tA[MS], tB[MS];
	B[0] = 1;
	for (int L = 1; L < N; L <<= 1) {
		int L2 = L << 1, L4 = L << 2;
		memset(B + L, 0, 8 * (L2 - L));
		PolyLn(B, L2, tB);
		InitFNTT(L4);
		memcpy(tA, B, 8 * L);
		memset(tA + L, 0, 8 * (Sz - L));
		for (int i = 0; i < L2; ++i) tB[i] = ((!i) - tB[i] + A[i]) % Mod;
		memset(tB + L2, 0, 8 * (Sz - L2));
		FNTT(tA, 1), FNTT(tB, 1);
		for (int i = 0; i < Sz; ++i) tA[i] = tA[i] * tB[i] % Mod;
		FNTT(tA, -1);
		for (int i = 0; i < L2; ++i) B[i] = tA[i];
	}
}

int N, M;
int buk[MS];
LL A[MS], B[MS];

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	Init(MS);
	for (int i = 1, v; i <= N; ++i) scanf("%d", &v), ++buk[v];
	for (int i = 1; i <= M; ++i) if (buk[i]) {
		for (int j = 1; j <= M / i; ++j) {
			A[i * j] = (A[i * j] + buk[i] * Inv[j]) % Mod;
		}
	}
	PolyExp(A, M + 1, B);
	for (int i = 1; i <= M; ++i) printf("%lld\n", (B[i] + Mod) % Mod);
	return 0;
}