POJ 2409 Let it Bead [置换群 Polya]

传送门

题意：$m$种颜色$n$颗珠子，定义旋转和翻转两种置换，求不等价着色数

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暴力求每个置换的循环节也许会$T?$

我们可以发现一些规律：

翻转：

$n$为奇数时每个置换有$1+\frac{n-1}{2}$个循环

$n$为偶数时穿过边的对称有$\frac{n}{2}$个循环，穿过点的有$\frac{n}{2}+1$个循环

旋转：

旋转$i$次的置换的循环个数为$gcd(n,i)$

可以这样想，从一个点开始每次走$i$步最后走到原位的最少步数$a$就是一个循环的长度

$ ai \equiv \pmod n$

$ i \mid ai,n \mid ai \rightarrow a=\frac{lcm(i,n)}{i}$

辣么$\frac{n}{a}=gcd(n,i)$就是循环个数啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}
    return x*f;
}
int m,n;
inline int Pow(int a,int b){
    int re=;
    for(;b;b>>=,a*=a)
        if(b&) re*=a;
    return re;
}
inline int gcd(int a,int b){return b==?a:gcd(b,a%b);}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    while(true){
        m=read();n=read();
        if(m==&&n==) break;
        int ans=;
        for(int i=;i<n;i++) ans+=Pow(m,gcd(n,i));
        if(n&) ans+=n*Pow(m,(n+)>>);
        else ans+=(n>>)*Pow(m,n>>)+(n>>)*Pow(m,(n>>)+);
        ans/=n<<;
        printf("%d\n",ans);
    }
}